«K12/K13» 120. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 120. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 258, Aufgabe 33

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}};$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}};$

a)

Bestimme die maximale Definitionsmenge.

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{2 - x}};$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{2-x}};$ → D_f = \left]0, 2\right[;$D_f=\left]0,2\right[;$

b)

Verschiebe G_f$G_f$ so, dass der verschobene Graph G_g$G_g$ symmetrisch zur y$y$-Achse ist. Bestimme g(x)$g\left(x\right)$.

g(x) = f(x + 1) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} \sqrt{2 - x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 - x}};$g\left(x\right)=f\left(x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x+1}\sqrt{2-x-1}}=\frac{1}{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}};$

Kontrolle: g(-x) = g(x);$g\left(-x\right)=g\left(x\right);$

c)

Bestimme die Wertemenge von g$g$ und damit von f$f$ und schließe daraus auf Ort und Art des Extrempunkts von G_f$G_f$.

g(x) = y = \frac{1}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 - x}};$g\left(x\right)=y=\frac{1}{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}};$ →

\left|x\right| = \sqrt{\frac{y^2 - 1}{y}} = \sqrt{1 - \frac{1}{y^2}};$\left|x\right|=\sqrt{\frac{y^2-1}{y}}=\sqrt{1-\frac{1}{y^2}};$ →

1 - \frac{1}{y^2} \geq 0;$1-\frac{1}{y^2}\ge 0;$ ⇔ \left|y\right| \geq 1;$\left|y\right|\ge 1;$ →

D_{g^{-1}} = W_g = W_f = \left[1, \infty\right[;$D_{g^{-1}}=W_g=W_f=\left[1,\infty \right[;$

→ TIP bei (0, 1);$\left(0,1\right);$

d)

Begründe: Eine Stammfunktion F$F$ von f$f$ hat kein Extremum.

f(x) > 0$f\left(x\right)>0$ für alle x \in D_f$x\in D_f$ → F' = f$F^{\prime }=f$ wechselt nie das Vorzeichen.

e)

Gib die Monotoniebereiche von f$f$ an. Was folgt daraus für den Verlauf von G_F$G_F$ einer beliebigen Stammfunktion F$F$ von f$f$?

Was tut sich in G_f$G_f$ bei der Abszisse des Extrempunkts von G_f$G_f$?

f'(x) = -\frac{1}{2x - x^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2x - x^2}} \cdot \left(2 - 2x\right) = \frac{x - 1}{\sqrt{\left(2x - x^2\right)^3}} = \frac{x - 1}{\sqrt{\left[-x \left(x - 2\right)\right]^3}};$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{2x-x^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-x^2}}\cdot \left(2-2x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{{\left(2x-x^2\right)}^3}}=\frac{x-1}{\sqrt{{\left[-x\left(x-2\right)\right]}^3}};$

VZW von f'(x)$f^{\prime }\left(x\right)$ bei x = 1$x=1$ von -$-$ nach +$+$ → Bestätigung der Vermutung über die Extrempunktsart

Für eine Stammfunktion F$F$ von f$f$ folgt daraus, dass F$F$ an x = 1$x=1$ einen Wendepunkt hat.

f)

Zeichne G_f$G_f$ und G_F$G_F$ so, dass G_F$G_F$ den Punkt (1,0)$\left(1,0\right)$ enthält.

F(a) = \int\limits_1^a \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} \,\mathrm{d}x = \left[\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \left(1 + t\right)' \,\mathrm{d}t\right]_1^a = \left[\arcsin t\right]_1^a = \left[\arcsin\!\left(x - 1\right)\right]_1^a = \arcsin\!\left(a - 1\right);$F\left(a\right)=\underset{1}{\overset{a}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}\text{d}x={\left[\int \; <!--nolimits-->\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\cdot {\left(1+t\right)}^{\prime }\text{d}t\right]}_1^a={\left[arcsint\right]}_1^a={\left[arcsin\left(x-1\right)\right]}_1^a=arcsin\left(a-1\right);$

g)

Berechne den Term F(x)$F\left(x\right)$ der Funktion aus Aufgabe f).

h)

H(x) := \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{2t - t^2}} \,\mathrm{d}t; \quad D_H = D_{\text{max}}$H\left(x\right):=\underset{0}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt{2t-t^2}}\text{d}t;D_H=D_{\text{max}}$. Wie hängen F$F$ und H$H$ zusammen?

H' = F' = f;$H^{\prime }=F^{\prime }=f;$

H(x) = F(x) + \int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{2t - t^2}} \,\mathrm{d}t = {}F(x) + \frac{\pi}{2};$H\left(x\right)=F\left(x\right)+\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{\sqrt{2t-t^2}}\text{d}t=F\left(x\right)+\frac{\pi }{2};$