«K12/K13» 13. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 13. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 27

Gib eine Integralfunktion zur Integrandenfunktion \mathrm{f}\colon x \mapsto x^2; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R}$\text{f}:x\mapsto x^2;D_{\text{f}}=\mathbb{ℝ}$ an, die

a)

an der Stelle 1$1$ den Funktionswert 0$0$

b)

an der Stelle a$a$ den Funktionswert b$b$ hat.

\varphi\colon x \mapsto \varphi(x) = \int\limits_k^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}k^3;$\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right)=\underset{k}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{k}^3;$

\varphi(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}k^3 = b; \Rightarrow k = \sqrt[3]{a^3 - 3b};$\varphi \left(a\right)=\frac{1}{3}{a}^3-\frac{1}{3}{k}^3=b;\Rightarrow k=\sqrt[3]{a^3-3b};$

⇒ \int\limits_{\sqrt[3]{a^3 - 3b}}^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t;$\underset{\sqrt[3]{a^3-3b}}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t;$

⇒ \int\limits_{\sqrt[3]{1^3 - 3 \cdot 0}}^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t = \int\limits_1^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t;$\underset{\sqrt[3]{1^3-3\cdot 0}}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t=\underset{1}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t;$

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 28c

Berechne die Fläche zwischen der x$x$-Achse und G_{\mathrm{f}}$G_{\text{f}}$ im Bereich von x = a$x=a$ bis x = b$x=b$.

\mathrm{f}(x) := -x^2 + x; \quad a = -1; b = 0;$\text{f}\left(x\right):=-x^2+x;a=-1;b=0;$

\int\limits_a^b \left|\mathrm{f}(x)\right| \mathrm{d}x = \int\limits_{-1}^0 -\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{5}{6};$\underset{a}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\left|\text{f}\left(x\right)\right|\text{d}x=\underset{-1}{\overset{0}{\int \; <!--nolimits-->}}-\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\frac{5}{6};$

0.0.1.3 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 29

Berechne die Fläche zwischen G_{\mathrm{f}}$G_{\text{f}}$ und der x$x$-Achse für

a)

\mathrm{f}\colon x \mapsto 2 - x - x^2;$\text{f}:x\mapsto 2-x-x^2;$

\mathrm{f}(x) = 0; \Rightarrow x_1 = -2; \quad x_2 = 1;$\text{f}\left(x\right)=0;\Rightarrow x_1=-2;x_2=1;$

⇒ \int\limits_{-2}^1 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{9}{2};$\underset{-2}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\frac{9}{2};$

b)

\mathrm{f}\colon x \mapsto x^2 \left(x + 2\right) = x^3 + 2x^2;$\text{f}:x\mapsto x^2\left(x+2\right)=x^3+2x^2;$

\mathrm{f}(x) = 0; \Rightarrow x_1 = -2; \quad x_2 = 0;$\text{f}\left(x\right)=0;\Rightarrow x_1=-2;x_2=0;$

⇒ \int\limits_{-2}^0 -\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{4}{3};$\underset{-2}{\overset{0}{\int \; <!--nolimits-->}}-\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\frac{4}{3};$

0.0.1.4 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 31

Berechne

a)

\int\limits_0^1 \left(x - x^2\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{6};$\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(x-x^2\right)\text{d}x=\frac{1}{6};$

b)

\int\limits_2^3 x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{19}{3};$\underset{2}{\overset{3}{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^2\text{d}x=\frac{19}{3};$

c)

\int\limits_2^3 t^2 \,\mathrm{d}t = \frac{19}{3};$\underset{2}{\overset{3}{\int \; <!--nolimits-->}}{t}^2\text{d}t=\frac{19}{3};$

d)

\int\limits_{-2}^{+2} v^2 \,\mathrm{d}v = \frac{16}{3};$\underset{-2}{\overset{+2}{\int \; <!--nolimits-->}}{v}^2\text{d}v=\frac{16}{3};$

e)

\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}ab^2 - \frac{1}{3}b^3;$\underset{0}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(ax-x^2\right)\text{d}x=\frac{1}{2}a{b}^2-\frac{1}{3}{b}^3;$

f)

\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}a = \frac{1}{2}b^2x - bx^2;$\underset{0}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(ax-x^2\right)\text{d}a=\frac{1}{2}{b}^{2}x-b{x}^2;$

g)

\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}t = b\left(ax - x^2\right);$\underset{0}{\overset{b}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(ax-x^2\right)\text{d}t=b\left(ax-x^2\right);$