«K12/K13» 140. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 140. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 299, Aufgabe 25

Welche Versuchszahl ist erforderlich, damit die relative Tref­fer­häu­fig­keit von der unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit um weniger als 0{,}1 \,\%$0,1\%$ abweicht bei einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 \,\%$99\%$?

\sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{n} \sqrt{p q};$\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{n}\sqrt{pq};$ → für unbekanntes p$p$: \sigma \leq \sqrt{n}/2;$\sigma \le \sqrt{n}∕2;$

P\!\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| < 0{,}1 \,\%\right) = 99 \,\% \approx 2 \cdot \phi\!\left(\frac{n \cdot 0{,}1 \,\%}{\sqrt{n}/2}\right) - 1;$P\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|<0,1\%\right)=99\%\approx 2\cdot \phi \left(\frac{n\cdot 0,1\%}{\sqrt{n}∕2}\right)-1;$ ⇔

\frac{1}{2}\left(1 + 99 \,\%\right) = \phi\!\left(\frac{n \cdot 0{,}1 \,\%}{\sqrt{n}/2}\right);$\frac{1}{2}\left(1+99\%\right)=\phi \left(\frac{n\cdot 0,1\%}{\sqrt{n}∕2}\right);$ ⇔

\phi^{-1}\!\left(\frac{1 + 99 \,\%}{2}\right) = \frac{n \cdot 0{,}1 \,\%}{\sqrt{n}/2} = 2 \sqrt{n} \cdot 0{,}1 \,\%;${\phi }^{-1}\left(\frac{1+99\%}{2}\right)=\frac{n\cdot 0,1\%}{\sqrt{n}∕2}=2\sqrt{n}\cdot 0,1\%;$ ⇔

n = \left[\frac{\phi^{-1}\!\left(\frac{1 + 99 \,\%}{2}\right)}{2 \cdot 0{,}1 \,\%}\right]^2 \approx \left[\frac{2{,}58}{2 \cdot 0{,}1 \,\%}\right]^2 = 1\,664\,100;$n={\left[\frac{{\phi }^{-1}\left(\frac{1+99\%}{2}\right)}{2\cdot 0,1\%}\right]}^2\approx {\left[\frac{2,58}{2\cdot 0,1\%}\right]}^2=1664100;$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 299, Aufgabe 26

Wie viele Wahlberechtigte muss man befragen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 \,\%$90\%$ das Wahlergebnis für eine bestimmte Partei mit einem Fehler von höchstens 1 \,\%$1\%$ vorhersagen können?

n \approx \left[\frac{\phi^{-1}\!\left(\frac{1 + 90 \,\%}{2}\right)}{2 \cdot 1 \,\%}\right]^2 \approx \left[\frac{1{,}64}{2 \cdot 1 \,\%}\right]^2 = 6724;$n\approx {\left[\frac{{\phi }^{-1}\left(\frac{1+90\%}{2}\right)}{2\cdot 1\%}\right]}^2\approx {\left[\frac{1,64}{2\cdot 1\%}\right]}^2=6724;$

"und dann schuf Gott die Welt, und sie war so, wie jetzt"

"mach' so, dass es gut ist"