0.0.1 ↑ 145. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 336, Aufgabe 3
Bei einem Stichprobenumfang von n = 20 soll über die beiden Hypothesen H_1: p = 0{,}25 und H_2: p = 0{,}5 entschieden werden. Die irrtümliche Entscheidung für H_2 soll höchstens mit 5 \,\% Wahrscheinlichkeit vorkommen.
- a)
Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.
\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,k \right\}; \quad \operatorname{An} H_2 = \left\{ k+1,\ldots,n \right\};
{P^{20}_{H_1}}(X \in \operatorname{An} H_2) = {}{P^{20}_{0{,}25}}(X \geq k+1) = {}1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X < k+1) = {}1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X \leq k) = {}1 - F(20, 0{,}25; k) \stackrel{!}{\leq} 5 \,\%; ⇔
F(20, 0{,}25; k) \geq 1 - 5 \,\% = 95 \,\%; ⇔ k \geq 8;
\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,8 \right\}\!; \quad \operatorname{An} H_2 = \left\{ 9,10,\ldots,20 \right\}\!;
- b)
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten für richtige und irrtümliche Entscheidungen in einer Vierfeldertafel entsprechend Beispiel 15.1 zusammen.
X \in \operatorname{An} H_1 X \in \operatorname{An} H_2 H_1 "in Wahrheit" {P^{20}_{0{,}25}}(X \leq 8) \approx 95{,}9 \,\% {P^{20}_{0{,}25}}(X > 8) \approx 4{,}1 \,\% H_2 "in Wahrheit" {P^{20}_{0{,}5}}(X \leq 8) \approx 25{,}2 \,\% {P^{20}_{0{,}5}}(X > 8) \approx 74{,}8 \,\% - c)
Für welche Entscheidungsregel sind die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten etwa gleich groß? Entwerfen Sie auch in diesem Fall eine Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Entscheidungen.
\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,k \right\}\!; \quad \operatorname{An} H_2 = \left\{ k+1,\ldots,n \right\}\!;
{P^{20}_{0{,}25}}(X \geq k + 1) \stackrel{!}{\approx} {}{P^{20}_{0{,}5}}(X \leq k); ⇔
1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X \leq k) \stackrel{!}{\approx} {}{P^{20}_{0{,}5}}(X \leq k);
Ausprobieren liefert: k = 7;
Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann 10{,}2 \,\% bzw. 13{,}2 \,\%.