0.0.1 ↑ 15. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 36
Berechne folgende Integrale durch geometrische Überlegungen
- a)
\int\limits_0^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2;
- b)
\int\limits_1^4 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(1 + 4\right) 3 = \frac{15}{2};
- c)
\int\limits_{-3}^5 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 8;
- d)
\int\limits_0^2 \left(x + 1\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(1 + 3\right) 2 = 4;
- e)
\int\limits_1^4 \left(5 - x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(4 + 1\right) 3 = \frac{15}{2};
- f)
\int\limits_2^{\frac{5}{2}} \left(\frac{1}{2}x + 3\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(4 + \frac{17}{4}\right) \frac{1}{2} = \frac{33}{16};
0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 38, Aufgabe 41
Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) = t^2 \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit \overline{v} während der ersten Sekunde, während der ersten zwei Sekunden, während der ersten zehn Sekunden und während der zweiten Sekunde?
\overline{v}_{a,b} = \dfrac{\int_a^b v(t) \,\mathrm{d}t}{b - a} = \dfrac{\frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3}}{b - a};
⇒ \overline{v}_{0,1} = \frac{1}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}; \vspace*{1.0em}\\ ⇒ \overline{v}_{0,2} = \frac{4}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}; \vspace*{1.0em}\\ ⇒ \overline{v}_{0,10} = \frac{100}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}; \vspace*{1.0em}\\ ⇒ \overline{v}_{1,2} = \frac{7}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};