«K12/K13» 21. Hausaufgabe

- - 0.0.1 21. Hausaufgabe

0.0.1 ↑ 21. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Differenzen zwischen Folgegliedern

a_n = 3 \cdot 1{,}8^n; $a_{n} = 3 \cdot 1, 8^{n};$

n $n$	a_n $a_{n}$	Differenz (gerundet)	Differenz der Differenz (gerundet)	Differenz der Differenz der Differenz (gerundet)
0 $0$	3 $3$	2 $2$	1 $1$	1 $1$
1 $1$	5 $5$	4 $4$	3 $3$	2 $2$
2 $2$	9 $9$	7 $7$	6 $6$	4 $4$
3 $3$	17 $17$	13 $13$	11 $11$	8 $8$
4 $4$	31 $31$	25 $25$	20 $20$	16 $16$
5 $5$	56 $56$	45 $45$	36 $36$	29 $29$
6 $6$	102 $102$	81 $81$	65 $65$	52 $52$
7 $7$	183 $183$	146 $146$	117 $117$	94 $94$
8 $8$	330 $330$	264 $264$	211 $211$	169 $169$
9 $9$	595 $595$	476 $476$	380 $380$	304 $304$
10 $10$	1071 $1071$	856 $856$	685 $685$	548 $548$
11 $11$	1928 $1928$	1542 $1542$	1233 $1233$	987 $987$
12 $12$	3470 $3470$	2776 $2776$	2221 $2221$	1776 $1776$
13 $13$	6246 $6246$	4997 $4997$	3998 $3998$
14 $14$	11244 $11244$	8995 $8995$
15 $15$	20239 $20239$

\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n = 3 \cdot 1{,}8^{n+1} - 3 \cdot 1{,}8^n = 3 \cdot \left(1{,}8 - 1\right) \cdot 1{,}8^n = 2{,}4 \cdot 1{,}8^n; $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = 3 \cdot 1, 8^{n + 1} - 3 \cdot 1, 8^{n} = 3 \cdot (1, 8 - 1) \cdot 1, 8^{n} = 2, 4 \cdot 1, 8^{n};$

\Delta^2 a_n = \Delta \left(\Delta a_n\right) = 2{,}4 \cdot 1{,}8^{n + 1} - 2{,}4 \cdot 1{,}8^n = 2{,}4 \cdot \left(1{,}8 - 1\right) 1{,}8^n = 1{,}92 \cdot 1{,}8^n; $Δ^{2} a_{n} = Δ (Δ a_{n}) = 2, 4 \cdot 1, 8^{n + 1} - 2, 4 \cdot 1, 8^{n} = 2, 4 \cdot (1, 8 - 1) 1, 8^{n} = 1, 92 \cdot 1, 8^{n};$

\Delta^k a_n = \Delta \left(\Delta \left(\cdots a_n\right) \cdots\right) = 3 \cdot 0{,}8^k \cdot 1{,}8^n; $Δ^{k} a_{n} = Δ (Δ (\dots a_{n}) \dots) = 3 \cdot 0, 8^{k} \cdot 1, 8^{n};$

⇒ \Delta^k a_n \stackrel{\text{!}}{=} 0; \Rightarrow 3 \cdot 0{,}8^k \cdot 1{,}8^n \stackrel{\text{!}}{=} 0; $Δ^{k} a_{n} \overset{!}{=} 0; \Rightarrow 3 \cdot 0, 8^{k} \cdot 1, 8^{n} \overset{!}{=} 0;$

⇒ Es gibt kein k \in \mathds{N} $k \in ℕ$ , für das \Delta^k a_n $Δ^{k} a_{n}$ 0 $0$ wäre.

0.0.1.2 ↑ Differenzen zwischen Folgegliedern

c_n = n^3; $c_{n} = n^{3};$

\Delta c_n = c_{n+1} - c_n = \left(n + 1\right)^3 - n^3 = \cdots = n^3+3n^2+2n+1; $Δ c_{n} = c_{n + 1} - c_{n} = {(n + 1)}^{3} - n^{3} = \dots = n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 1;$

\Delta^2 c_n = \Delta \left(\Delta c_n\right) = \left(n+1\right)^3+3\left(n+1\right)^2+2\left(n+1\right)+1 - n^3-3n^2-2n-1 = \cdots = 3n^2 + 9n + 6; $Δ^{2} c_{n} = Δ (Δ c_{n}) = {(n + 1)}^{3} + 3 {(n + 1)}^{2} + 2 (n + 1) + 1 - n^{3} - 3 n^{2} - 2 n - 1 = \dots = 3 n^{2} + 9 n + 6;$

\Delta^3 c_n = \Delta \left(\Delta \left(\Delta c_n\right)\right) = 3\left(n+1\right)^2 + 9\left(n+1\right) + 6 - 3n^2 - 9n - 6 = \cdots = 6n + 12; $Δ^{3} c_{n} = Δ (Δ (Δ c_{n})) = 3 {(n + 1)}^{2} + 9 (n + 1) + 6 - 3 n^{2} - 9 n - 6 = \dots = 6 n + 12;$

\Delta^4 c_n = \Delta \left(\Delta \left(\Delta \left(\Delta c_n\right)\right)\right) = 6\left(n+1\right) + 12 - 6n - 12 = 6; $Δ^{4} c_{n} = Δ (Δ (Δ (Δ c_{n}))) = 6 (n + 1) + 12 - 6 n - 12 = 6;$

0.0.1.3 ↑ Augensummen bei Würfelwürfen

Wurf von n $n$ Würfeln: s \in \left\{ n, n + 1, \ldots, 6n - 1, 6n \right\}; $s \in \{n, n + 1, \dots, 6 n - 1, 6 n\};$
Wurf von 10^9 $1 0^{9}$ Würfeln: s \in \left\{ 10^9, 10^9 + 1, \ldots, 6 \cdot 10^9 - 1, 6 \cdot 10^9 \right\}; $s \in \{1 0^{9}, 1 0^{9} + 1, \dots, 6 \cdot 1 0^{9} - 1, 6 \cdot 1 0^{9}\};$
Wurf von 10^6 $1 0^{6}$ Würfeln: s \in \left\{ 10^6, 10^6 + 1, \ldots, 6 \cdot 10^6 - 1, 6 \cdot 10^6 \right\}; $s \in \{1 0^{6}, 1 0^{6} + 1, \dots, 6 \cdot 1 0^{6} - 1, 6 \cdot 1 0^{6}\};$
Wurf von 10^3 $1 0^{3}$ Würfeln: s \in \left\{ 1000, 1001, \ldots, 5999, 6000 \right\}; $s \in \{1000, 1001, \dots, 5999, 6000\};$
Wurf von 10^2 $1 0^{2}$ Würfeln: s \in \left\{ 100, 101, \ldots, 599, 600 \right\}; $s \in \{100, 101, \dots, 599, 600\};$
Wurf von 10^1 $1 0^{1}$ Würfeln: s \in \left\{ 10, 11, \ldots, 59, 60 \right\}; $s \in \{10, 11, \dots, 59, 60\};$
Wurf von 10^0 $1 0^{0}$ Würfeln: s \in \left\{ 1, 2, \ldots, 5, 6 \right\}; $s \in \{1, 2, \dots, 5, 6\};$

0.0.1.4 ↑ Exzerpt von Kapitel 1 des Stochastik-Buchs ("Zufallsexperimente")

Experimente können determiniert oder zufällig sein.
Determinierte Experimente lassen sich beliebig oft wiederholen; ihr Ausgang unterscheidet sich nie.
Der Ausgang zufälliger Experimente ist nicht vorhersagbar; der Ausgang kann sich unterscheiden.
Experimente werden auch dann als "zufällig" bezeichnet, wenn sie theoretisch zwar determiniert wären, aber so viele Variablen im Spiel sind, dass eine genaue Vorhersage in der Praxis unmöglich wird.

0.0.1.5 ↑ Wertetabelle der Funktionen \mathrm{F}_k $F_{k}$ und \mathrm{F}_l $F_{l}$ der Aufgabe 5 der 1. Klausur

x $x$	\mathrm{F}_k(x) $F_{k} (x)$	\mathrm{F}_l(x) $F_{l} (x)$
a $a$	\mathrm{F}_k(0) + A = \frac{1}{2}A $F_{k} (0) + A = \frac{1}{2} A$	\mathrm{F}_l(0) + A = -\frac{1}{2}A $F_{l} (0) + A = - \frac{1}{2} A$
0 $0$	-A + \frac{1}{2}A = -\frac{1}{2}A $- A + \frac{1}{2} A = - \frac{1}{2} A$	-2A + \frac{1}{2}A = -\frac{3}{2}A $- 2 A + \frac{1}{2} A = - \frac{3}{2} A$
	-A $- A$	\mathrm{F}_l(k) - A = -2A $F_{l} (k) - A = - 2 A$
k $k$	0 $0$	\mathrm{F}_l(l) - A = -A $F_{l} (l) - A = - A$
l $l$	\mathrm{F}_k(k) + A = A $F_{k} (k) + A = A$	0 $0$
	\mathrm{F}_k(l) - A = 0 $F_{k} (l) - A = 0$	-A $- A$
b $b$	\frac{3}{2}A $\frac{3}{2} A$	-A + \frac{3}{2}A = \frac{1}{2}A $- A + \frac{3}{2} A = \frac{1}{2} A$

[Vielzahl von undeterminierten Systemen → sehr scharfes System]

"Das Wesen der Mathematik ist weder logisch noch unlogisch, sie ist a-logisch."

"[die entscheidensten Fragen haben keine Antwort]"

"bloß wir beten dem in der Schule immer wieder [...]"

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