0.0.1 ↑ 33. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 29, Aufgabe 4
A und B seien zwei Ereignisse. Drücken Sie folgende Aussagen symbolisch aus:
- a)
Beide Ereignisse treten ein.
A \cap B
- b)
Höchstens eines von beiden Ereignissen tritt ein.
\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)
- c)
Keines von beiden Ereignissen tritt ein.
\overline{A} \cap \overline{B}
- d)
Mindestens eines von beiden Ereignissen tritt ein.
A \cup B
- e)
Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein.
\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 30, Aufgabe 6
In einem Kraftwerk wird die Haverie einer Anlage von drei unabhängig voneinander arbeitenden Kontrollsignalen angezeigt. Diese unterliegen einer gewissen Störanfälligkeit. S_i sei das Ereignis: "Das i-te Signal funktioniert" (i = 1,2,3). Drücken Sie die folgenden Ereignisse durch die S_i aus:
A: "Alle drei Signale funktionieren"
A = S_1 \cap S_2 \cap S_3;
B: "Kein Signal funktioniert"
B = \overline{S_1} \cap \overline{S_2} \cap \overline{S_3};
C: "Mindestens ein Signal funktioniert"
C = S_1 \cup S_2 \cup S_3;
D: "Genau zwei von drei Signalen funktionieren"
D = \left(S_1 \cap S_2 \cap \overline{S_3}\right) \cup \left(S_1 \cap \overline{S_2} \cap S_3\right) \cup \left(\overline{S_1} \cap S_2 \cap S_3\right);
E: "Mindestens zwei der drei Signale funktionieren"
E = \left(S_1 \cap S_2\right) \cup \left(S_1 \cap S_3\right) \cup \left(S_2 \cap S_3\right);
F: "Genau ein Signal funktioniert"
F = \left(S_1 \cap \overline{S_2} \cap \overline{S_3}\right) \cup \left(\overline{S_1} \cap S_2 \cap \overline{S_3}\right) \cup \left(\overline{S_1} \cap \overline{S_2} \cap S_3\right);
0.0.1.3 ↑ Exzerpt der Kapitel 5.1–5.3 des Stochastik-Buchs
Der Anteil der für ein Ereignis günstiger Fälle an den insgesamt möglichen Fällen ist nach der Anteilsregel die Chance für das Eintreten des Ereignisses.
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A ist P(A) = \frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}.
Dabei muss \Omega endlich sein und jedes Elementarergebnis muss die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Experimente, denen man Ergebnisräume zuordnet, die diese Eigenschaften erfüllen, heißen Laplace-Experimente.
\Omega beschreibt ein Laplace-Experiment ⇒
\forall A \subset \Omega: P(A) \in \mathds{Q} \cap \left[0, 1\right];
P(\varnothing) = 0;
P(\Omega) = 1;
\forall A \subset \Omega: P(A) + P(\overline{A}) = 1;
\forall A \subset \Omega: \left\{\begin{array}{@{}l@{}} {} A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_n; \\ {} A_i \cap A_j = \varnothing; \quad i,j = 1,2,\ldots,n; i \neq j; \end{array}\right\} \Rightarrow \vspace*{2mm}\\ P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n);