«K12/K13» 43. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 43. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 123, Aufgabe 10

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, das vier Könige enthält, wird in n$n$ aufeinander folgenden Zügen ohne Zurücklegen zufällig je eine Karte gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

1. "Beim ersten Zug wird ein König gezogen"

   \Omega = \left\{ 1,2,3,\ldots,32 \right\}\!;$\Omega =\left\{1,2,3,\dots ,32\right\};$ (Laplace)

   1$1$,2$2$,3$3$,4$4$ sind Könige.

   P = P\!\left(\left\{1\right\}\right) + P\!\left(\left\{2\right\}\right) + P\!\left(\left\{3\right\}\right) + P\!\left(\left\{4\right\}\right) = \frac{4}{32} = 12{,}5 \,\%;$P=P\left(\left\{1\right\}\right)+P\left(\left\{2\right\}\right)+P\left(\left\{3\right\}\right)+P\left(\left\{4\right\}\right)=\frac{4}{32}=12,5\%;$

2. a)

   "In zwei aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

   P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \approx 1{,}2 \,\%;$P=\frac{4}{32}\frac{3}{31}\approx 1,2\%;$

   b)

   "In zwei aufeinander folgenden Zügen wird beim zweiten Zug ein König gezogen"

   P = \frac{28}{32} \frac{4}{31} + \frac{4}{32} \frac{3}{31} = 12{,}5 \,\%;$P=\frac{28}{32}\frac{4}{31}+\frac{4}{32}\frac{3}{31}=12,5\%;$

3. a)

   "In drei aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

   P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \approx 0{,}1 \,\%;$P=\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}\approx 0,1\%;$

   b)

   "In drei aufeinander folgenden Zügen wird beim dritten Zug ein König gezogen"

   P = \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30}}_{0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30}}_{0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30}}_{1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30}}_{1,1,1} = 12{,}5 \,\%;$P=\underset{0,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{4}{30}}}+\underset{0,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{3}{30}}}+\underset{1,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{3}{30}}}+\underset{1,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}}}=12,5\%;$

4. a)

   "In vier aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

   P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-3};$P=\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}\frac{1}{29}\approx 2,7\cdot 10^{-3};$

   b)

   "In vier aufeinander folgenden Zügen wird beim vierten Zug ein König gezogen"

   \renewcommand{\arraystretch}{2.2}\begin{array}{@{}rcl} {} P &=& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{4}{29}}_{0,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{3}{29}}_{0,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29}}_{0,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29}}_{0,1,1,1} + \\ {} &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29}}_{1,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29}}_{1,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{2}{29}}_{1,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29}}_{1,1,1,1} = \\ {} &=& 12{,}5 \,\%; \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill P& \hfill =\hfill & \underset{0,0,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{26}{30}\frac{4}{29}}}+\underset{0,0,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{4}{30}\frac{3}{29}}}+\underset{0,1,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{27}{30}\frac{3}{29}}}+\underset{0,1,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{3}{30}\frac{2}{29}}}+\hfill \\ \hfill & \hfill +\hfill & \underset{1,0,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{27}{30}\frac{3}{29}}}+\underset{1,0,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{3}{30}\frac{2}{29}}}+\underset{1,1,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{28}{30}\frac{2}{29}}}+\underset{1,1,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}\frac{1}{29}}}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 12,5\%;\hfill \end{array}$

5. ["In fünf aufeinander folgenden Zügen wird beim fünften Zug ein König gezogen"

   \renewcommand{\arraystretch}{2.2}\begin{array}{@{}rcl} {} P &=& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{25}{29} \frac{4}{28}}_{0,0,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{4}{29} \frac{3}{28}}_{0,0,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{0,0,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{0,0,1,1,1} + \\ {} &+& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{0,1,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{0,1,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{0,1,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{0,1,1,1,1} + \\ {} &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{1,0,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{1,0,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{1,0,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{1,0,1,1,1} + \\ {} &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{1,1,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{1,1,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{28}{29} \frac{1}{28}}_{1,1,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29} \frac{0}{28}}_{1,1,1,1,\text{"`}1\text{"'}} = \\ {} &=& 12{,}5 \,\%;\text{]} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill P& \hfill =\hfill & \underset{0,0,0,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{26}{30}\frac{25}{29}\frac{4}{28}}}+\underset{0,0,0,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{26}{30}\frac{4}{29}\frac{3}{28}}}+\underset{0,0,1,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{4}{30}\frac{26}{29}\frac{3}{28}}}+\underset{0,0,1,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{27}{31}\frac{4}{30}\frac{3}{29}\frac{2}{28}}}+\hfill \\ \hfill & \hfill +\hfill & \underset{0,1,0,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{27}{30}\frac{26}{29}\frac{3}{28}}}+\underset{0,1,0,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{27}{30}\frac{3}{29}\frac{2}{28}}}+\underset{0,1,1,0,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{3}{30}\frac{27}{29}\frac{2}{28}}}+\underset{0,1,1,1,1}{\underbrace{\frac{28}{32}\frac{4}{31}\frac{3}{30}\frac{2}{29}\frac{1}{28}}}+\hfill \\ \hfill & \hfill +\hfill & \underset{1,0,0,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{27}{30}\frac{26}{29}\frac{3}{28}}}+\underset{1,0,0,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{27}{30}\frac{3}{29}\frac{2}{28}}}+\underset{1,0,1,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{3}{30}\frac{27}{29}\frac{2}{28}}}+\underset{1,0,1,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{28}{31}\frac{3}{30}\frac{2}{29}\frac{1}{28}}}+\hfill \\ \hfill & \hfill +\hfill & \underset{1,1,0,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{28}{30}\frac{27}{29}\frac{2}{28}}}+\underset{1,1,0,1,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{28}{30}\frac{2}{29}\frac{1}{28}}}+\underset{1,1,1,0,1}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}\frac{28}{29}\frac{1}{28}}}+\underset{1,1,1,1,\text{”‘}1\text{”’}}{\underbrace{\frac{4}{32}\frac{3}{31}\frac{2}{30}\frac{1}{29}\frac{0}{28}}}=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 12,5\%;\text{]}\hfill \end{array}$

0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 123, Aufgabe 11

Werkstücke einer Produktion werden kontrolliert auf richtigen Durchmesser (A$A$) und richtige Dicke (B$B$). Von 1000$1000$ Werkstücken waren bei 10$10$ sowohl Durchmesser als aus Dicke falsch, bei 970$970$ war der Durchmesser richtig, bei 950$950$ war die Dicke richtig.

a)

Wie groß ist die Anzahl der Werkstücke mit richtigem Durchmesser und richtiger Dicke?

	A$A$	\overline{A}$\overline{A}$
B$B$	930$930$	20$20$	950$950$
\overline{B}$\overline{B}$	40$40$	10$10$	50$50$
	970$970$	30$30$	1000$1000$

930$930$

b)

Ein Werkstück wird zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie

• P(A) = \frac{970}{1000} = 97 \,\%;$P\left(A\right)=\frac{970}{1000}=97\%;$

• P(\overline{A} \cap B) = \frac{20}{1000} = 2 \,\%;$P\left(\overline{A}\cap B\right)=\frac{20}{1000}=2\%;$

• P_{\overline{B}}(A) = \frac{40}{50} = 80 \,\%;$P_{\overline{B}}\left(A\right)=\frac{40}{50}=80\%;$

• P_{A \cup B}(A \cap B) = \frac{P\!\left(\left(A \cup B\right) \cap \left(A \cap B\right)\right)}{P\!\left(A \cup B\right)} = \frac{P\!\left(A \cap B\right)}{P(A) + P(B) - P\!\left(A \cap B\right)} = \frac{930}{970 + 950 - 930} = \frac{930}{1000 - 10} \approx 93{,}9 \,\%;$P_{A\cup B}\left(A\cap B\right)=\frac{P\left(\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cap B\right)\right)}{P\left(A\cup B\right)}=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}=\frac{930}{970+950-930}=\frac{930}{1000-10}\approx 93,9\%;$