0.0.1 ↑ 47. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 130, Aufgabe 16
Zur Früherkennung einer Stoffwechselkrankheit bei Säuglingen wird eine neue Untersuchungsmethode entwickelt. Mit ihr wird die Krankheit in 80 \,\% der Fälle zuverlässig erkannt, während der Anteil der irrtümlich als krank eingestuften Säuglinge bei 2 \,\% liegt. Durchschnittlich tritt die Krankheit bei 1{,}0 \cdot 10^5 Geburten hundertmal auf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein untersuchter Säugling tatsächlich erkrankt ist, obwohl die Untersuchung keinen zuverlässigen Hinweis darauf ergeben hat?
P_{H_1}(T_1) = 80 \,\%; \quad P_{H_0}(T_1) = 2 \,\%;
P(H_1) = \frac{100}{1{,}0 \cdot 10^5};
P_{T_0}(H_1) = \frac{P(H_1) P_{H_1}(T_0)}{P(H_1) P_{H_1}(T_0) + P(H_0) P_{H_0}(T_0)} = \frac{P(H_1) \left(1 - P_{H_1}(T_1)\right)}{P(H_1) \left(1 - P_{H_1}(T_1)\right) + \left(1 - P(H_1)\right) \left(1 - P_{H_0}(T_1)\right)} \approx 2{,}0 \cdot 10^{-4};
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 131, Aufgabe 20
Bei einer Übertragung der Zeichen "Punkt" und "Strich" in einem Fernmeldesystem werden durch Störungen im Mittel 5 \,\% der gesendeten Punkte als Striche und 3 \,\% der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Das Verhältnis von gesendeten Punkten zu gesendeten Strichen ist \frac{3}{5}. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen empfangen wurde, falls a) Punkt, b) Strich empfangen wurde?
P_{H_{\circ}}(T_{-}) = 5 \,\%;
P_{H_{-}}(T_{\circ}) = 3 \,\%;
\frac{P(H_{\circ})}{P(H_{-})} = \frac{3}{5}; ⇒ P(H_{\circ}) = \frac{3}{8};
- a)
P_{T_{\circ}}(H_{\circ}) = \frac{P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{\circ})}{P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{\circ}) + P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{\circ})} = 95 \,\%;
- b)
P_{T_{-}}(H_{-}) = \frac{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-})}{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-}) + P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{-})} = 97 \,\%;