«K12/K13» 57. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 57. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 162, Aufgabe 1

Welche Lage hat g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right)$g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ zu...

• a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \alpha \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$a:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -1\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right);$

  \forall r \in \mathds{R}{:}\, \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) \neq r \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\forall r\in \mathbb{ℝ}:\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\ne r\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und a$a$ sind nicht parallel.

  Gleichsetzen bringt keinen Widerspruch ⇒ g$g$ und a$a$ schneiden sich in einem Punkt.

• b{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \beta \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$b:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right);$

  \forall r \in \mathds{R}{:}\, \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) \neq r \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\forall r\in \mathbb{ℝ}:\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\ne r\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und b$b$ sind nicht parallel.

  Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇒ g$g$ und b$b$ sind windschief.

• c{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \gamma \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$c:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right);$

  \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) = - \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und c$c$ sind parallel.

  \forall r \in \mathds{R}{:}\, \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) - \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-8\\1\end{smallmatrix}\!\right) \neq r \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\forall r\in \mathbb{ℝ}:\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ 1\end{array}\right)\ne r\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und c$c$ sind echt parallel.

• d{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-5\end{smallmatrix}\!\right) + \delta \left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$d:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -5\end{array}\right)+\delta \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right);$

  \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) = \frac{1}{2} \left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und d$d$ sind parallel.

  \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-5\end{smallmatrix}\!\right) - \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-4\\-4\end{smallmatrix}\!\right) = -\left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -4\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 4\end{array}\right);$

  ⇒ g$g$ und d$d$ sind identisch.