0.0.1 ↑ 63. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 22, Aufgabe 1a
Löse das Gleichungssystem:
\left.\begin{array}{@{}rcrcrcl} {} 10x_1 &+& x_2 &-& 2x_3 &=& 2; \\ {} x_1 &+& 2x_2 &+& 2x_3 &=& 3; \\ {} 4x_1 &+& 4x_2 &+& 3x_3 &=& 5; \end{array}\right\} \Leftrightarrow (x_1, x_2, x_3) = (1, -2, 3);
0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 176, Aufgabe 13
Bestimme den Parameter so, dass P(1, 2, -5) in der Ebene liegt.
- a)
E{:}\, x_1 - 2x_2 + x_3 - a = 0;
⇔ a = P_1 - 2 P_2 + P_3 = 1 - 4 - 5 = -8;
- b)
F{:}\, a x_1 + x_2 = 0;
⇔ a = -\frac{P_2}{P_1} = -2;
- c)
G{:}\, 2x_1 - 3x_2 + ax_3 = 2a;
⇔ a = \frac{-2 P_1 + 3 P_2}{P_3 - 2} = -\frac{4}{7};
0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 176, Aufgabe 14
Gib Koordinatengleichungen der Koordinatenebenen an.
x_1 = 0; (x_2-x_3-Ebene)
x_2 = 0; (x_1-x_3-Ebene)
x_3 = 0; (x_1-x_2-Ebene)
0.0.1.4 ↑ Geometrie-Buch Seite 178, Aufgabe 24
g_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}a-1\\2a+2\\-a\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \mu, a \in \mathds{R};
- a)
Zeige, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene F liegen.
- b)
Gib eine Parameter- und Koordinatengleichung dieser Ebene F an.
- c)
Welche Ebenenpunkte kommen in der Geradenschar nicht vor?
g_a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}a-1\\2a+2\\-a\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu a \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \mu, a \in \mathds{R};
\mu und a können beliebig aus \mathds{R} gewählt werden; ist allerdings \mu 0, so ist \mu a auch 0. Es ist also nicht möglich, den ersten Richtungsvektoren zu streichen und zugleich den zweiten zu behalten.
In einer Ebene darf aber keine Gerade fehlen; daher ersetzen wir \mu a mit \nu, wobei \nu, wenn a 0 ist, nicht auch notwendigerweise 0 sein muss.
F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \mu, \nu \in \mathds{R};
Auflösen nach \mu und \nu und Einsetzen bringt als Koordinatengleichung:
F{:}\, x_1 + \frac{1}{2} x_2 - 2 = 0; \quad x_1, x_2, x_3 \in \mathds{R};
Die fehlenden Punkte sind die Ebenenpunkte, für die \mu zwar 0 ist, \nu jedoch nicht, mit Ausnahme des Aufpunkts.
h{:}\, \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + 0 \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \nu \in \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\};