«K12/K13» 68. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 68. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 197, Aufgabe 6

Beschreibe die Lage von E$E$ und F$F$ und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade s$s$ auf.

a)

E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}4\\4\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad F{:} \, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\3\\7\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}6\\1\\-4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 3\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right);F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 7\end{array}\right)+\sigma \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+\tau \left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -4\end{array}\right);$

Überprüfung der Komplanarität der vier Richtungsvektoren:

• \begin{vmatrix}-2&4&2\\3&4&1\\3&-1&-1\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix}4&2\\4&1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&2\\3&1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = -12 - 8 + 20 = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right|=-12-8+20=0;$

• \begin{vmatrix}-2&4&6\\3&4&1\\3&-1&-4\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix}4&6\\4&1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&6\\3&1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = -60 - 20 + 80 = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -4\hfill \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right|=-60-20+80=0;$

Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\6\\5\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 5\end{array}\right);$

Überprüfung der Komplanarität des Verbindungsvektors mit den Richtungsvektoren:

\begin{vmatrix}-2&4&-1\\3&4&6\\3&-1&-5\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix}4&-1\\4&6\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&-1\\3&6\end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = 3 \cdot 28 - 9 - 100 = -25;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill -5\hfill \end{array}\right|=3\left|\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 4\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right|+5\left|\begin{array}{cc}\hfill -2\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right|=3\cdot 28-9-100=-25;$ ⇔ E \cap F = \varnothing;$E\cap F=\varnothing ;$

b)

E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-4\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad F{:} \, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-3\\8\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\-4\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 1\end{array}\right);F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 8\end{array}\right)+\sigma \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)+\tau \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right);$

Überprüfung der Komplanarität der vier Richtungsvektoren:

• \begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&1\\1&1&-4\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill \end{array}\right|=0;$

• \begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&-3\\1&1&2\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right|=0;$

Verbindungsvektor der Aufpunkte: \vec d = \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 2\end{array}\right);$

Überprüfung der Komplanarität des Verbindungsvektors mit den Richtungsvektoren:

\begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&-3\\1&1&2\end{vmatrix} = 0;$\left|\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill -4\hfill & \hfill -3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right|=0;$ ⇔ E \cap F = E = F;$E\cap F=E=F;$