0.0.1 ↑ 69. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 196, Aufgabe 4
Beschreibe die Lage von E und F und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade s auf.
- a)
E{:}\, 2 x_1 - x_2 + 2 x_3 - 4 = 0; \quad {}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;
Einsetzen von x_1, x_2, x_3 aus der Gleichung von F in E bringt:
2 + 2 \lambda + 4 \lambda - 2 - \mu + 4 + 2 \lambda - 4 = 4 \lambda + 3 \mu = 0; ⇔ \lambda = -\frac{3}{4} \mu;
E \cap F = s mit s{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) - \frac{3}{4}\mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}\frac{5}{4}\\1\\-\frac{3}{4}\end{smallmatrix}\!\right)\!;
- b)
E{:}\, x_1 + x_2 + 3 x_3 - 6 = 0; \quad {}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;
Einsetzen von x_1, x_2, x_3 aus der Gleichung von F in E bringt:
1 + 3 \lambda + \mu + 1 - 3 \mu - 3 \lambda + 3 \mu - 6 = -4 + \mu = 0; ⇔ \mu = 4;
E \cap F = s mit s{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + 4 \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\-11\\4\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;
0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 197, Aufgabe 6c
Beschreibe die Lage von E und F und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade s auf.
E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad {}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;
D = \begin{vmatrix}-3&1&1\\1&-1&-1\\1&1&-1\end{vmatrix} = 0 - 2 - 2 = -4;
D_1 = \begin{vmatrix}-2\tau&1&1\\\tau-1&-1&-1\\3\tau&1&-1\end{vmatrix} = -2\tau - 2; ⇔ \lambda = \frac{D_1}{D} = \frac{\tau}{2} + \frac{1}{2};
D_2 = \begin{vmatrix}-3&-2\tau&1\\1&\tau-1&-1\\1&3\tau&-1\end{vmatrix} = -4\tau - 2; ⇔ \mu = \frac{D_2}{D} = \tau + \frac{1}{2};
E \cap F = s mit s{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2} \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2}\tau \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2} \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \tau \left(\!\begin{smallmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{smallmatrix}\!\right) \equiv \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \tau' \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;