«K12/K13» 71. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 71. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 93, Aufgabe 1

A(2,0,-1)$A\left(2,0,-1\right)$, B(8,-3,11)$B\left(8,-3,11\right)$. S$S$ und T$T$ teilen \left[AB\right]$\left[AB\right]$ in drei gleiche Teile. Berechne S$S$ und T$T$.

\vec S = \vec A + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\-1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{A}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 3\end{array}\right);$

\vec T = \vec A + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\-2\\7\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{A}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 7\end{array}\right);$

(Def.: \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\\c\end{smallmatrix}\!\right) : \left(\!\begin{smallmatrix}k a\\k b\\k c\end{smallmatrix}\!\right) := \frac{1}{k};$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}ka\\ kb\\ kc\end{array}\right):=\frac{1}{k};$)

S$S$ teilt \left[AB\right]$\left[AB\right]$ im Verhältnis \lambda_1 = \frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} = \frac{1}{2};${\lambda }_1=\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}=\frac{1}{2};$

T$T$ teilt \left[AB\right]$\left[AB\right]$ im Verhältnis \lambda_2 = \frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}} = 2;${\lambda }_2=\frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}}=2;$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 9

P(0, \frac{3}{2}, 4); \quad Q(3, 0, 4);$P\left(0,\frac{3}{2},4\right);Q\left(3,0,4\right);$

Berechne die Punkte S$S$ und T$T$, die \left[PQ\right]$\left[PQ\right]$ harmonisch im Verhältnis \left|\sigma\right| = 2$\left|\sigma \right|=2$ teilen.

\vec S - \vec P = \overrightarrow{PS} = 2 \overrightarrow{SQ} = 2 \vec Q - 2 \vec S;$\overrightarrow{S}-\overrightarrow{P}=\overrightarrow{PS}=2\overrightarrow{SQ}=2\overrightarrow{Q}-2\overrightarrow{S};$ ⇔ 3 \vec S = 2 \vec Q + \vec P;$3\overrightarrow{S}=2\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{P};$ ⇔ \vec S = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\\frac{1}{2}\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{S}=\left(\begin{array}{c}2\\ \frac{1}{2}\\ 4\end{array}\right);$

\vec T - \vec P = \overrightarrow{PT} = -2 \overrightarrow{TQ} = -2 \vec Q + 2 \vec T;$\overrightarrow{T}-\overrightarrow{P}=\overrightarrow{PT}=-2\overrightarrow{TQ}=-2\overrightarrow{Q}+2\overrightarrow{T};$ ⇔ -\vec T = -2 \vec Q + \vec P;$-\overrightarrow{T}=-2\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{P};$ ⇔ \vec T = 2 \vec Q - \vec P = \left(\!\begin{smallmatrix}6\\-\frac{3}{2}\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{T}=2\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}6\\ -\frac{3}{2}\\ 4\end{array}\right);$

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 10

A(2,10,5)$A\left(2,10,5\right)$, B(23,-4,33)$B\left(23,-4,33\right)$, S(11,4,17)$S\left(11,4,17\right)$

a)

S$S$ und T$T$ teilen \left[AB\right]$\left[AB\right]$ harmonisch. Berechne T$T$.

\overrightarrow{AS} = \sigma \overrightarrow{SB};$\overrightarrow{AS}=\sigma \overrightarrow{SB};$ ⇔ \sigma = \frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}};$\sigma =\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}};$

\overrightarrow{AT} = -\sigma \overrightarrow{TB} = -\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} \overrightarrow{TB};$\overrightarrow{AT}=-\sigma \overrightarrow{TB}=-\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}\overrightarrow{TB};$

\vec T \left(1 - \frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} \overrightarrow{TB}\right) = \vec A - \vec B \frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} \overrightarrow{TB};$\overrightarrow{T}\left(1-\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}\overrightarrow{TB}\right)=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}\overrightarrow{TB};$ ⇔ \vec T= \left(\!\begin{smallmatrix}-61\\52\\-79\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{T}=\left(\begin{array}{c}-61\\ 52\\ -79\end{array}\right);$

b)

A$A$ und B$B$ teilen \left[ST\right]$\left[ST\right]$ im Verhältnis \alpha$\alpha$ und \beta$\beta$. Berechne \alpha$\alpha$ und \beta$\beta$.

\alpha = \frac{\overrightarrow{SA}}{\overrightarrow{AT}} = \frac{1}{7};$\alpha =\frac{\overrightarrow{SA}}{\overrightarrow{AT}}=\frac{1}{7};$

\beta = \frac{\overrightarrow{SB}}{\overrightarrow{BS}} = -\frac{1}{7};$\beta =\frac{\overrightarrow{SB}}{\overrightarrow{BS}}=-\frac{1}{7};$