«K12/K13» 74. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 74. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 129, Aufgabe 3

Warum ist die Menge aller Polynome von genau zweitem Grad (Koeffizient a_2 \neq 0$a_2\ne 0$) kein Vektorraum mit den Verknüpfungen vom [Vektorraum aller Polynome dritten Grades]?

Weil es keinen Nullvektor gibt (0x^2 + 0x + 0$0x^2+0x+0$ wegen der Bedingung a_2 \neq 0$a_2\ne 0$ ausgeschlossen).

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 129, Aufgabe 6

Sind folgende Mengen von Tripeln Vektorräume mit den Ver­knüp­fun­gen vom [dreidimensionalen arithmetischen Vektorraum]?

a)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = 2 b \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid a=2b\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$

Ja.

b)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| a \leq b \leq c \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid a\le b\le c\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$

Nein: (1,2,3)$\left(1,2,3\right)$ hat kein Inverses (\left(-1, -2, -3\right) \not\in M$\left(-1,-2,-3\right)\notin M$).

c)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| a b = 0 \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid ab=0\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$

Nein: (a,0,c) + (0,\beta,\gamma) = (a,\beta,c+\gamma) \not\in M;$\left(a,0,c\right)+\left(0,\beta ,\gamma \right)=\left(a,\beta ,c+\gamma \right)\notin M;$ (a \beta$a\beta$ nicht allgemein 0$0$)

d)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = b = c \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid a=b=c\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$

Ja, M$M$ ist isomorph zu \mathds{R}^1${\mathbb{ℝ}}^1$.

e)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = b^2 \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid a=b^2\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$

Nein.

-(b^2,b,c) = (-b^2, -b, -c) \not\in M;$-\left(b^2,b,c\right)=\left(-b^2,-b,-c\right)\notin M;$ (\left(-b\right)^2 = b^2 \neq -b^2${\left(-b\right)}^2=b^2\ne -b^2$)

f)

M = \left\{ (a,b,c) \middle| k_1 a + k_2 b + k_3 c = 0 \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;$M=\left\{\left(a,b,c\right)\mid k_{1}a+k_{2}b+k_{3}c=0\wedge a,b,c\in \mathbb{ℝ}\right\};$ k_i$k_i$ seien feste reelle Zahlen.

Ja, da k_i = 0$k_i=0$ möglich, ist M = \mathds{R}^3$M={\mathbb{ℝ}}^3$ und bildet damit mit den üblichen Verknüpfungen einen Vektorraum.

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 130, Aufgabe 7

M$M$ sei die Menge alle Paare reeller Zahlen.

Zeige: M$M$ ist kein Vektorraum über \mathds{R}$\mathbb{ℝ}$, wenn die Verknüpfungen (+)$\left(+\right)$ und (\cdot)$\left(\cdot \right)$ so definiert werden:

a)

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu a,b);$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right);\mu \cdot \left(a,b\right)=\left(\mu a,b\right);$

Nein: (0,0) = 0 \cdot (a,b) \neq \left(-1 + 1\right) \cdot (a,b) = \left(-1\right) \cdot (a,b) + (a,b) = (-a,b) + (a,b) = (0,2b);$\left(0,0\right)=0\cdot \left(a,b\right)\ne \left(-1+1\right)\cdot \left(a,b\right)=\left(-1\right)\cdot \left(a,b\right)+\left(a,b\right)=\left(-a,b\right)+\left(a,b\right)=\left(0,2b\right);$ (Verletzung des Distributivgesetzes für Skalare)

b)

(a,b) + (c,d) = (a,b); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu a,\mu b);$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a,b\right);\mu \cdot \left(a,b\right)=\left(\mu a,\mu b\right);$

Nein: a + b = a \neq b = b + a$a+b=a\ne b=b+a$ (Verletzung des Kommutativgesetzes)

c)

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu^2 a,\mu^2 b);$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right);\mu \cdot \left(a,b\right)=\left({\mu }^{2}a,{\mu }^{2}b\right);$

Nein: \left(-1\right) \cdot (a,b) = (a,b) = 1 \cdot (a,b);$\left(-1\right)\cdot \left(a,b\right)=\left(a,b\right)=1\cdot \left(a,b\right);$ (Mehrere neutrale Elemente)