0.0.1 ↑ 91. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 184, Aufgabe 1
X kennzeichne die Anzahl der Merkmale "Zahl" beim Werfen einer fairen Münze. Berechnen Sie E(X).
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2};
0.0.1.2 ↑ Stochastik-Buch Seite 184, Aufgabe 2
X kennzeichne die jeweils geworfene doppelte Augenzahl beim Werfen eines echten Würfels. Berechnen Sie E(X).
\tilde X(\omega) = X(\omega) : 2; \quad E(\tilde X) = 3{,}5;
E(X) = 2\, P_X(2) + 4\, P_X(4) + \cdots + 12\, P_X(12) = 2\, E(\tilde X) = 7;
0.0.1.3 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 4
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X sei symmetrisch zu x = c, d.h. P(X = c + x) = P(X = c - x). Zeigen Sie, dass E(X) = c gilt.
E(X) = c P(X = c) + \sum\limits_{\Delta > 0}\left[ \left(c + \Delta\right) P(X = c + \Delta) + \left(c - \Delta\right) P(X = c + \Delta) \right] = c P(X = c) + \sum\limits_{\Delta > 0} P(X = c + \Delta) \cdot 2c = c \left[P(X = c) + 2 \sum\limits_{\Delta > 0} P(X = c + \Delta)\right] = c \left[P(X = c) + \sum\limits_{\Delta > 0} P(X = c + \Delta) + \sum\limits_{\Delta > 0} P(X = c - \Delta)\right] = c \sum\limits_{\Delta \in \mathds{R}} P(X = c + \Delta) = c \cdot 1 = c;
0.0.1.4 ↑ Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 5
- a)
Eine Urne enthält zehn gleichartige Kugeln, welche die Nummern 1 bis 10 tragen. Eine Kugel wird zufällig ausgewählt. X_{10} sei die darauf verzeichnete Zahl. Berechnen Sie E(X_{10}).
E(X_{10}) = \frac{11}{2};
- b)
Aufgabe a) soll von 10 auf die natürliche Zahl n verallgemeinert werden.
E(X_n) = \frac{n + 1}{2};
- c)
Es werden aus der Urne mit zehn Kugeln zwei Kugeln zufällig mit Zurücklegen gezogen. Y sei das Maximum der Zahlen. Berechnen Sie E(Y).
E(Y) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right) = \frac{1}{100} \left[10 \cdot \left(1 \cdot 10 + 10 \cdot 1 - 1\right) + 9 \cdot \left(1 \cdot 9 + 9 \cdot 1 - 1\right) + \cdots + 1 \cdot \left(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1\right)\right] = 7{,}15;