0.0.1 ↑ Die bedingte Wahrscheinlichkeit
| M | B | ||
|---|---|---|---|
| L | 5 | 12 | 17 |
| F | 4 | 8 | 12 |
| 9 | 20 | 29 |
\Omega = M \cup B = L \cup F;
Wir nehmen \Omega als Laplace-Raum an.
P_\Omega(M \cup L) = \frac{5}{29}; \quad P_\Omega(M) = \frac{9}{29}; \quad P_\Omega(L) = \frac{17}{29};
| M | B | |
|---|---|---|
| L | M \cap L | B \cap L |
| F | M \cap F | B \cap F |
\Omega = \left(M \cap L\right) \cup \left(M \cap F\right) \cup \left(B \cap L\right) \cup \left(B \cap F\right); ([jeweils] paarweise disjunkte Mengen)
L = \left(M \cap L\right) \cup \left(B \cap L\right);
F = \left(M \cap F\right) \cup \left(B \cap F\right);
M = \left(M \cap L\right) \cup \left(M \cap F\right);
B = \left(B \cap L\right) \cup \left(B \cap F\right);
\Omega_M = M;
P_M(L) = \frac{5}{9} = \frac{P_\Omega(M \cap L) \cdot 29}{P_\Omega(M) \cdot 29} = \frac{P_\Omega(M \cap L)}{P_\Omega(M)}; (Wahrscheinlichkeit von L unter der Bedingung M; Der Index \Omega wird in aller Regel weggelassen; Def. B. S. 114)
P_M{:}\, \mathcal{P}(\Omega) \to \mathds{R} mit E \mapsto \frac{P(M \cap E)}{P(M)} ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß (vgl. B. S. 116 oben) und (\Omega, P_M) ist ein Wahrscheinlichkeitsraum.
---------o---------/ \P(M)=9/29 / \ P(B)=20/29/ \o M B o/ \ / \P_M(L)=5/9 / \ P_M(F)= P_B(L)= / \ P_B(F)=8/20/ \ =4/9 =12/20 / \o L F o o L F o
---------o---------/ \P(L)=17/29 / \ P(F)=12/29/ \o L F o/ \ / \P_L(M)=5/10 / \ P_L(B)= P_F(M)= / \ P_F(B)=8/12/ \ =12/17 =4/12 / \o M B o o M B o
P_M(L) = \frac{P(M \cap L)}{P(M)}; \Rightarrow P(M \cap L) = P(M) P_M(L) = \frac{9}{29} \frac{5}{9} = \frac{5}{29}; (1. Pfadregel, vgl. B. S. 120)
P(L) = P(L \cap M) + P(L \cap B) = \frac{9}{29}\frac{5}{9} + \frac{20}{29}\frac{12}{20} = \frac{17}{29}; (2. Pfadregel, vgl. B. S. 120)
Verzweigungsregel:
o/ \a / \ b/ \o o
a + b = 1;
P(A \cap B \cap C) = P(A) \, P_A(B \cap C) = P(A) \, P_A(B) \, P_{A \cap B}(C);