«K12/K13» Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechung «PDF», «POD»

0.1 ↑ Stochastik

0.1.1 ↑ Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechung

• In einer Schublade befinden sich lose 7 Paar Socken. Es werden blind zwei Socken entnommen. Wie viele solcher "Paare" sind möglich?

  14 \cdot 13 : 2 = 91;$14\cdot 13:2=91;$

• 20 Schülerinnen und Schüler kommen zum Ma­the­ma­tik-Un­ter­richt in das Klassenzimmer: Auf wie viele Arten ist das möglich?

  • Einzeln, Individuen werden unterschieden:

    \omega = (18,2,5,7,\ldots);$\omega =\left(18,2,5,7,\dots \right);$ ("Der Schüler mit der Nummer 7$7$ kommt als vierter.")

    Ein Ergebnis ist ein 20$20$-Tupel, als i$i$-te Komponente (i = 1, \ldots, 20$i=1,\dots ,20$) tragen wir die Nummer des Schülers ein, der als i$i$-ter erschien.

    \left|\Omega\right| = 20! \approx 2{,}43 \cdot 10^{18};$\left|\Omega \right|=20!\approx 2,43\cdot 10^{18};$

  • 2er-Gruppen: Anzahl der Möglichkeiten, 20$20$ Schüler in 2er-Gruppen einzuteilen:

    • \frac{20 \cdot 19}{2} = 190;$\frac{20\cdot 19}{2}=190;$ (1. Paar)

    • \frac{18 \cdot 17}{2} = 153;$\frac{18\cdot 17}{2}=153;$ (2. Paar)

    • \vdots$⋮$

    • \frac{4 \cdot 3}{2} = 6;$\frac{4\cdot 3}{2}=6;$ (9. Paar)

    • \frac{2 \cdot 1}{2} = 1;$\frac{2\cdot 1}{2}=1;$ (10. Paar)

    \frac{20 \cdot 19}{2} \cdot \frac{18 \cdot 17}{2} \cdot \cdots \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2} = \frac{20!}{\left(2!\right)^{10}};$\frac{20\cdot 19}{2}\cdot \frac{18\cdot 17}{2}\cdot \cdots \cdot \frac{4\cdot 3}{2}\cdot \frac{2\cdot 1}{2}=\frac{20!}{{\left(2!\right)}^{10}};$

• Schülergruppe S = \left\{ A,B,C,D \right\};$S=\left\{A,B,C,D\right\};$

  a)

  [Jeweils] 1. Kurssprecher [von] E,Ph, Ämterhäufung möglich

  Mögliches Ergebnis: \omega_1 = (A,B)${\omega }_1=\left(A,B\right)$, \omega_2 = (A,A);${\omega }_2=\left(A,A\right);$

  1. Komponente: E, 2. Komponente: Ph

  \Omega_{\text{a}} = \left\{ (x,y) \bigm| x \in S \wedge y \in S \right\};${\Omega }_{\text{a}}=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in S\wedge y\in S\right\};$

  \left|\Omega_{\text{a}}\right|= \left|S\right|^2;$\left|{\Omega }_{\text{a}}\right|={\left|S\right|}^2;$

  b)

  1./2. Kurssprecher für M

  Mögliches Ergebnis: \omega = (A,B);$\omega =\left(A,B\right);$

  \Omega_{\text{b}} = \left\{ (x,y) \bigm| x \in S \wedge y \in S \wedge x \neq y \right\} = \Omega_{\text{a}} \setminus \left\{ (x,x) \bigm| x \in S \right\};${\Omega }_{\text{b}}=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in S\wedge y\in S\wedge x\ne y\right\}={\Omega }_{\text{a}}\setminus \left\{\left(x,x\right)\mid x\in S\right\};$

  \left|\Omega_{\text{b}}\right| = \left|S\right| \left(\left|S\right| + 1\right) = 16 - 4;$\left|{\Omega }_{\text{b}}\right|=\left|S\right|\left(\left|S\right|+1\right)=16-4;$

  "Jaja, da kannsch tausend Sachen [wischende Handbewegung] hinschreiben"

  "Das ist [wie] die Sache mit der Sachtel: Welche Seite ist richtig"

  "Ja was soll ich da sagen wenn ich spinn'"

  c)

  Zwei Schüler werden als Tafeldienst gewählt.

  \omega = \left\{A,B\right\} = \left\{B,A\right\};$\omega =\left\{A,B\right\}=\left\{B,A\right\};$

  \Omega_{\text{c}} = \left\{ \left\{x,y\right\} \bigm| x \in S \wedge y \in S \wedge x = y \right\} = \left\{ \left\{x,y\right\} \bigm| \left\{x,y\right\} \subset S \right\};${\Omega }_{\text{c}}=\left\{\left\{x,y\right\}\mid x\in S\wedge y\in S\wedge x=y\right\}=\left\{\left\{x,y\right\}\mid \left\{x,y\right\}\subset S\right\};$

  \left|\Omega_{\text{c}}\right| = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6;$\left|{\Omega }_{\text{c}}\right|=\frac{4\cdot 3}{2}=6;$

  2! \left|\Omega_{\text{c}}\right| = \left|\Omega_{\text{b}}\right|;$2!\left|{\Omega }_{\text{c}}\right|=\left|{\Omega }_{\text{b}}\right|;$

  "Heut ham' die Ramona und die Ramona Tafeldienst"

  "Dann ist er [ein Schizophrener] endlich mal mit sich beisammen [wenn er Tafeldienst ist]"

  d)

  Die Schüler bilden Paare.

  \Omega_{\text{d}} = \left\{ \left\{ \left\{A,B\right\}\!,\left\{C,D\right\} \right\}\!, \left\{ \left\{A,C\right\}\!,\left\{B,D\right\} \right\}\!, \left\{ \left\{A,D\right\}\!,\left\{B,C\right\} \right\} \right\};${\Omega }_{\text{d}}=\left\{\left\{\left\{A,B\right\},\left\{C,D\right\}\right\},\left\{\left\{A,C\right\},\left\{B,D\right\}\right\},\left\{\left\{A,D\right\},\left\{B,C\right\}\right\}\right\};$

  8 \left|\Omega_{\text{d}}\right| = 4!;$8\left|{\Omega }_{\text{d}}\right|=4!;$

  \left|\Omega_{\text{d}}\right| = \frac{4!}{8} = 3;$\left|{\Omega }_{\text{d}}\right|=\frac{4!}{8}=3;$

  [Komisches Zeug: Tabelle mit ABCD, BACD, BADC, ABDC (für Paar AB,CD); also Vertauschung innerhalb der Paare (2 \cdot 2$2\cdot 2$) und die Paar selbst (nochmal \cdot\, 2$\cdot 2$)]

  e)

  Die Schüler kommen paarweise ins Klassenzimmer, auf die Reihenfolge beim Betreten der Paare wird geachtet.

  \Omega_{\text{e}} = \left\{ \left(\left\{A,B\right\}\!,\left\{C,D\right\}\right), \left(\left\{A,C\right\}\!,\left\{B,D\right\}\right), \ldots \right\};${\Omega }_{\text{e}}=\left\{\left(\left\{A,B\right\},\left\{C,D\right\}\right),\left(\left\{A,C\right\},\left\{B,D\right\}\right),\dots \right\};$

  1. Komponente: 1. Paar

  \left|\Omega_{\text{e}}\right| = 2 \left|\Omega_{\text{c}}\right| = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2} = \frac{4!}{2^2} = 6;$\left|{\Omega }_{\text{e}}\right|=2\left|{\Omega }_{\text{c}}\right|=\frac{4\cdot 3}{2}\cdot \frac{2\cdot 1}{2}=\frac{4!}{2^2}=6;$

  f)

  Einzeln, nach Geschlecht (4 w, 16 m)

  Mögliches Ergebnis: \omega = (\text{w}, \text{w}, \text{w}, \text{m}, \ldots);$\omega =\left(\text{w},\text{w},\text{w},\text{m},\dots \right);$

  20-Tupel

  \frac{20!}{4! 16!}$\frac{20!}{4!16!}$

• Auf wie viele Arten können sich 20 Schülerinnen und Schüler auf 34 Plätze setzen?