«K12/K13» 1. Klausur «PDF», «POD»

0.1 ↑ Tests

0.1.1 ↑ 1. Klausur am 9.11.2005

1. Berechne \int\limits_1^5 \left(\frac{1}{4}x^3 - 3x + 5\right) \mathrm{d}x$\underset{1}{\overset{5}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(\frac{1}{4}{x}^3-3x+5\right)\text{d}x$.

   \int\limits_1^5 \left(\frac{1}{4}x^3 - 3x + 5\right) \mathrm{d}x = \ldots = 23;$\underset{1}{\overset{5}{\int \; <!--nolimits-->}}\left(\frac{1}{4}{x}^3-3x+5\right)\text{d}x=\dots =23;$

2. Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen \mathrm{f}$\text{f}$ und \mathrm{g}$\text{g}$ eingeschlossen wird. Dabei ist

   \mathrm{f}(x) = 5x^3 - 2x^2 - 6; \quad x \in \mathds{R}; \quad$\text{f}\left(x\right)=5x^3-2x^2-6;x\in \mathbb{ℝ};$ und \\$$ \mathrm{g}(x) = 3x^3 + 2x^2 + 10x - 18; \quad x \in \mathds{R};$\text{g}\left(x\right)=3x^3+2x^2+10x-18;x\in \mathbb{ℝ};$

   \mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x) = 2x^3 - 4x^2 - 10x + 18;$\text{f}\left(x\right)-\text{g}\left(x\right)=2x^3-4x^2-10x+18;$

   Nullstellen: -2$-2$, 1$1$, 3$3$

   \phi'(x) = \mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x);${\phi }^{\prime }\left(x\right)=\text{f}\left(x\right)-\text{g}\left(x\right);$

   \phi(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - 5x^2 + 12x;$\phi \left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4-\frac{4}{3}{x}^3-5x^2+12x;$

   A = \left|\phi(1) - \phi(-2)\right| + \left|\phi(3) - \phi(1)\right| = \frac{253}{6};$A=\left|\phi \left(1\right)-\phi \left(-2\right)\right|+\left|\phi \left(3\right)-\phi \left(1\right)\right|=\frac{253}{6};$

   "Aber es ist in keiser Weise stringent¹"

3. Gegeben sind die Geraden \mathrm{g}: x = 1$\text{g}:x=1$ und \mathrm{h}: y = 1$\text{h}:y=1$ sowie die Funktion \mathrm{f}_a${\text{f}}_a$, a \in \mathds{R}$a\in \mathbb{ℝ}$ mit \mathrm{f}_a(x) = a \cdot x^2${\text{f}}_a\left(x\right)=a\cdot x^2$. [Spätere Ergänzung: x \geq 0$x\ge 0$]

   Berechne den Inhalt der angegebenen Fläche.

   a)

   Fläche, die von den Geraden \mathrm{g}$\text{g}$ und \mathrm{h}$\text{h}$ und dem Graphen von \mathrm{f}_4${\text{f}}_4$ eingeschlossen ist.

   A = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 4x^2 \,\mathrm{d}x - \frac{1}{2} = \ldots = \frac{2}{3};$A=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}4x^2\text{d}x-\frac{1}{2}=\dots =\frac{2}{3};$

   b)

   Fläche, die von der Geraden \mathrm{g}$\text{g}$ und \mathrm{h}$\text{h}$ und dem Graphen von \mathrm{f}_{\frac{1}{5}}${\text{f}}_{\frac{1}{5}}$ eingeschlossen ist.

   A = \sqrt{5} - 1 - \int\limits_1^{\sqrt{5}} \frac{1}{5}x^2 \,\mathrm{d}x = \ldots = \frac{2}{3}\sqrt{5} - \frac{14}{15};$A=\sqrt{5}-1-\underset{1}{\overset{\sqrt{5}}{\int \; <!--nolimits-->}}\frac{1}{5}{x}^2\text{d}x=\dots =\frac{2}{3}\sqrt{5}-\frac{14}{15};$

   "das kann man halt noch eintippen und dann kommt halt irgendwas 'raus"

   c)

   A = 1 - 2 \int\limits_0^1 x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{1}{3};$A=1-2\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--nolimits-->}}{x}^2\text{d}x=\frac{1}{3};$

4. Für 0 < a < b$0<a<b$ sei q = \sqrt[n]{\frac{b}{a}}$q=\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$, n \in \mathds{N}$n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ und x_k = a \cdot q^k$x_k=a\cdot q^k$, k = \left\{ 0, 1, 2, \ldots, n \right\}$k=\left\{0,1,2,\dots ,n\right\}$.

   a)

   Zeige, dass gilt: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b;$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b;$

   x_0 = a \cdot q^0 = a;$x_0=a\cdot q^0=a;$

   x_n = a \cdot q^n = a \left(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right)^n = a \cdot \frac{b}{a} = b;$x_n=a\cdot q^n=a{\left(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right)}^n=a\cdot \frac{b}{a}=b;$

   x_{k+1} = x_k \cdot q > x_k$x_{k+1}=x_k\cdot q>x_k$, da q > 1$q>1$, weil b > a > 0$b>a>0$.

   b)

   Bestimme für festes n$n$ den maximalen Abstand d_n$d_n$ benachbarter Stellen x_k$x_k$ und untersuche das Verhalten von d_n$d_n$ für n \to \infty$n\to \infty$.

   x_{k+1} - x_k = a q^{k+1} - aq^k = aq^k\left(q - 1\right)$x_{k+1}-x_k=a{q}^{k+1}-a{q}^k=a{q}^k\left(q-1\right)$, maximal für k = n - 1$k=n-1$.

   d_n = b - a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n-1}{n}} \to b - a\left(\frac{b}{a}\right)^1 = b - b = 0$d_n=b-a{\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{n-1}{n}}\to b-a{\left(\frac{b}{a}\right)}^1=b-b=0$ für n \to \infty$n\to \infty$.

   c)

   Zeige, dass die Untersumme zur Funktion f_\alpha$f_{\alpha }$, a \in \mathds{N}$a\in \mathbb{\mathbb{N}}$ mit f_\alpha(x) = x^\alpha$f_{\alpha }\left(x\right)=x^{\alpha }$, x \in \left[a,b\right]$x\in \left[a,b\right]$ bezogen auf die Stellen x_k$x_k$ gegeben ist durch a^{\alpha + 1} \cdot \left(q - 1\right) \cdot \left(1 + q^{\alpha + 1} + q^{2\left(\alpha + 1\right)} + \cdots + q^{\left(n - 1\right)\left(\alpha + 1\right)}\right)$a^{\alpha +1}\cdot \left(q-1\right)\cdot \left(1+q^{\alpha +1}+q^{2\left(\alpha +1\right)}+\cdots +q^{\left(n-1\right)\left(\alpha +1\right)}\right)$

   \renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{rcl} {} s_n &=& \left(aq - a\right)a^\alpha + \left(aq^2 - aq\right)\left(aq\right)^\alpha + \left(aq^3 - aq^2\right)\left(aq^2\right)^\alpha + \cdots \thinspace + \\ {} &+& \left(aq^n - aq^{n-1}\right)\left(aq^{n-1}\right)^\alpha = \\ {} &=& a \cdot a^\alpha \cdot \left(q - 1\right) \cdot \left(1 + q \cdot q^\alpha + q^2 \cdot q^{2\alpha} + \cdots + q^{n-1} \cdot q^{\left(n-1\right)\alpha}\right) = \\ {} &=& a^{\alpha+1} \left(q-1\right) \left(1 + q^{\alpha+1} + q^{2\left(\alpha+1\right)} + \cdots + q^{\left(n - 1\right)\left(\alpha + 1\right)}\right); \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill s_n& \hfill =\hfill & \left(aq-a\right)a^{\alpha }+\left(a{q}^2-aq\right){\left(aq\right)}^{\alpha }+\left(a{q}^3-a{q}^2\right){\left(a{q}^2\right)}^{\alpha }+\cdots +\hfill \\ \hfill & \hfill +\hfill & \left(a{q}^n-a{q}^{n-1}\right){\left(a{q}^{n-1}\right)}^{\alpha }=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & a\cdot a^{\alpha }\cdot \left(q-1\right)\cdot \left(1+q\cdot q^{\alpha }+q^2\cdot q^{2\alpha }+\cdots +q^{n-1}\cdot q^{\left(n-1\right)\alpha }\right)=\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & a^{\alpha +1}\left(q-1\right)\left(1+q^{\alpha +1}+q^{2\left(\alpha +1\right)}+\cdots +q^{\left(n-1\right)\left(\alpha +1\right)}\right);\hfill \end{array}$

5. Betrachtet werden die auf \left[a,b\right]$\left[a,b\right]$ definierten Funktionen \mathrm{f}$\text{f}$, \mathrm{F}_k${\text{F}}_k$ und \mathrm{F}_l${\text{F}}_l$ mit \mathrm{F}_k(x) = \int\limits_k^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t${\text{F}}_k\left(x\right)=\underset{k}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t$ und \mathrm{F}_l(x) = \int\limits_l^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t${\text{F}}_l\left(x\right)=\underset{l}{\overset{x}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(t\right)\text{d}t$ gemäß folgender Skizze:

   [Skizze]

   a)

   Skizziere in ein Koordinatensystem möglichst genau die Graphen von \mathrm{F}_k${\text{F}}_k$ und \mathrm{F}_l${\text{F}}_l$.

   b)

   Gib einen Zusammenhang zwischen \mathrm{F}_k${\text{F}}_k$ und \mathrm{F}_l${\text{F}}_l$ an.

   c)

   Skizziere den Graphen einer Stammfunktion von \mathrm{f}$\text{f}$, die nicht als Integralfunktion darstellbar ist, und begründe deine Wahl.