«K12/K13» 6. Klausur «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 6. Klausur am 18.12.2006

1. Gegeben ist die Ebene E{:}\, 2 x_1 - 3 x_2 + 4 x_3 + 1 = 0$E:2x_1-3x_2+4x_3+1=0$. (12 P)

   a)

   Erläutere die geometrische Bedeutung der beiden HESSEnormierungen und gib den HESSEterm an. (3 P)

   b)

   Begründe für einen Punkt im positiven Halbraum von E$E$ bezüglich des HESSEvektors mittels einer Skizze die Bedeutung des Werts des HESSEterms für diesen Punkt. (3 P)

   c)

   Untersuche, welche der Punkte A(1,1,1)$A\left(1,1,1\right)$, B(-1,3,5)$B\left(-1,3,5\right)$, C(-2,3,-5)$C\left(-2,3,-5\right)$ im selben Halbraum bezüglich E$E$ liegen, und berechne den Abstand von C$C$ zu E$E$. (3 P)

   d)

   Durch Spiegelung von E$E$ am Punkt P(1,2,3)$P\left(1,2,3\right)$ entsteht die Ebene E'$E^{\prime }$. Bestimme eine Gleichung von E'$E^{\prime }$. (3 P)

2. Ein Zylinder mit unbegrenzt langer Achse a$a$ und Radius \sqrt{2}$\sqrt{2}$ liegt im 1. und 4. Oktanten so zwischen den Ebenen E{:}\, x_1 - x_3 = 0$E:x_1-x_3=0$ und F{:}\, x_1 = 0$F:x_1=0$ eingekeilt, dass er E$E$ in der Geraden e$e$ und F$F$ in der Geraden f$f$ berührt. (10 P)

   a)

   Fertige eine aussagekräftige Skizze an, die den Schnitt der x_1$x_1$–x_3$x_3$-Ebene mit dem Zylinder und den Ebenen E$E$ und F$F$ darstellt. (4 P)

   b)

   Bestimme eine Gleichung für die Achse a$a$. Verwende dazu möglichst wenig elementargeometrische Rechentechniken, sondern setze die Techniken der Vektorgeometrie ein. (6 P)

3. Bestimme eine Stammfunktion von f$f$. Verwende dazu die partielle Integration oder die Substitutionsmethode. (10 P)

   a)

   f(x) = \sin x \cdot \cos x; \quad x \in \mathds{R};$f\left(x\right)=sinx\cdot cosx;x\in \mathbb{ℝ};$ (3 P)

   b)

   f(x) = \frac{x \ln\!\left(x^2 + 1\right)}{\sqrt{x^2 + 1}}; \quad x \geq 0;$f\left(x\right)=\frac{xln\left(x^2+1\right)}{\sqrt{x^2+1}};x\ge 0;$ (7 P)

4. Gegeben ist die Funktion f$f$ mit f(x) = \frac{e^x}{\left(e^x + 1\right)^2}$f\left(x\right)=\frac{e^x}{{\left(e^x+1\right)}^2}$, x \in \mathds{R}_0^+$x\in {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$. (12 P)

   a)

   Untersuche das Monotonieverhalten von f$f$ sowie das Verhalten von f$f$ für x \to \infty$x\to \infty$. Skizziere den Graphen von f$f$. (6 P)

   b)

   Zeige mittels der Substitutionsmethode, dass F$F$ mit F(x) = -\left(e^x + 1\right)^{-1}$F\left(x\right)=-{\left(e^x+1\right)}^{-1}$, x \in \mathds{R}_0^+$x\in {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ eine Stammfunktion von f$f$ ist. (3 P)

   c)

   Die Gerade x = t \geq 0$x=t\ge 0$, die x$x$-Achse und der Graph von f$f$ begrenzen eine unendlich ausgedehnte Fläche.

   Berechne den Inhalt dieser Fläche. (3 P)