0.0.1 ↑ 121. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Exzerpt von B. S. 408: BOHRsche Postulate
Quantenbedingung: Der Bahndrehimpuls ist gequantelt.
Da der Drehimpuls in der Schule nicht behandelt wird, können wir zur Quantenbedingung nicht mehr sagen.
Frequenzbedingung: Ein Bahnübergang erfolgt durch Absorption oder Emission eines Photons mit passender Energie E_m - E_n.
Anschaulich kreisen im BOHRschen Atommodell die Elektronen auf bestimmten, kreisförmigen Bahnen um die Atomkerne. Obwohl sie dabei eigentlich ständig beschleunigen (da sich der Geschwindigkeitsvektor ändert), verlieren sie keine Energie durch Strahlung.
Die Elektronen fallen deswegen nicht in den Atomkern, da die elektrische Anziehungskraft als Zentripetalkraft genutzt wird.
0.0.1.2 ↑ Exzerpt von B. S. 408f.: Energie
Die Gesamtenergie eines Elektrons auf der n-ten Bahn ist
E_n = E_{\text{pot},n} + E_{\text{kin},n};
0.0.1.2.1 ↑ Potenzielle Energie
Zur Herleitung der potenziellen Energie E_{\text{pot},n} nutzen wir das COULOMBpotenzial. Die eine Ladung wird vom Elektron (-e), die andere vom Kern getragen. Für das Wasserstoffatom gilt:
E_{\text{pot},n} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\left(-e\right) \cdot e}{r_n} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n};
Dabei bezeichnet r_n den Abstand des Elektrons vom Kern.
0.0.1.2.2 ↑ Kinetische Energie
Die kinetische Energie kann über die Beziehung F_{\text{Zentripetal}} = F_{\text{Elektr.}} herleiten:
\frac{m_e {v_n}^2}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2};
Ausnutzung von r_n m_e v_n = \frac{n h}{2 \pi} liefert:
v_n = \frac{1}{2 \varepsilon_0 h} \frac{e^2}{n};
Mit bekanntem v_n ist auch der Bahnradius bestimmbar:
r_n = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e} \frac{n^2}{e^2};
Außerdem können wir die kinetische Energie ausrechnen:
E_{\text{kin},n} = \frac{1}{2} m_e \frac{1}{4 {\varepsilon_0}^2 h^2} \frac{e^4}{n^2};
0.0.1.2.3 ↑ Gesamtenergie
Damit ist Gesamtenergie E_n = E_{\text{pot},n} + E_{\text{kin},n}:
E_n = -\frac{1}{8} \frac{m_e e^4}{\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} = E_1 / n^2;
0.0.1.3 ↑ Fragen
Erfolgt im BOHRschen Atommodell der Bahnübergang stetig oder sprunghaft?
Hat die Negativität der Gesamtenergie eine physikalische Bedeutung? (Da durch Messungen ja eh nur Energiedifferenzen zugänglich sind, vermute ich das Gegenteil.)
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