«K12/K13» 133. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 133. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Erklärung des Bilds 427.1 (Manifestationswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Entfernung vom Kern)

Im Bild 427.1 ist die Manifestationswahrscheinlichkeit w(r)$w\left(r\right)$ von Elektronen in Abhängigkeit der Entfernung zum Kern, r$r$, der als punktförmig modelliert wird.

Der Kurvenverläuf lässt vermuten, dass die Manifestationswahrscheinlichkeit direkt am Kern Null ist, mit wachsender Entfernung zunimmt, ihr Maximum bei etwa r = 0{,}5 \cdot 10^{-10} \,\mathrm{m}$r=0,5\cdot 10^{-10}\text{m}$ erreicht und dann abfällt. w(r)$w\left(r\right)$ scheint für r \to \infty$r\to \infty$ Null zu sein.

Übertragen auf die Elektroniumdichte könnte man aus diesem Kurvenverlauf schließen, dass Elektronium habe beim Kern eine Dichte von 0 \,\frac{\text{Wahrscheinlichkeit}}{\mathrm{m}^3}$0\frac{\text{Wahrscheinlichkeit}}{{\text{m}}^3}$, und nimmt dann, genau wie der Kurvenverlauf es beschreibt, zu, ist dann maximal und nimmt dann wieder ab, mit der r$r$-Achse als Asymptote.

Das ist allerdings falsch, w(r) \neq w(x,y,z)$w\left(r\right)\ne w\left(x,y,z\right)$: w(r)$w\left(r\right)$ ergibt sich zwar aus w(x,y,z)$w\left(x,y,z\right)$ (für bestimmte x,y,z$x,y,z$), aber es ergibt sich ein zusätzlicher Faktor, der das Ergebnis erheblich qualitativ verfälscht.

Für auf der Hüllkugeloberfläche A(r)$A\left(r\right)$ konstantes w(x,y,z)$w\left(x,y,z\right)$ ergibt sich nämlich:

w(r) = \iint w(x,y,z) \,\mathrm{d}A(r) = 4 \pi r^2 \cdot w$w\left(r\right)=\iint w\left(x,y,z\right)\text{d}A\left(r\right)=4\pi r^2\cdot w$

Ist w(x,y,z)$w\left(x,y,z\right)$, können wir das Integral nicht mehr selbst berechnen; der Faktor r^2$r^2$ bleibt aber erhalten.

Den Unterschied zwischen w(x,y,z)$w\left(x,y,z\right)$ und w(r)$w\left(r\right)$ kann man an dem einfachen Beispiel w(x,y,z) = c$w\left(x,y,z\right)=c$ für alle x,y,z$x,y,z$ erkennen:

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