0.0.1 ↑ 48. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Auflösung der Differentialgleichung fürs Mechanische
\displaystyle D x + m_{\text{eff}} \ddot x = 0;
Ableiten nach der Zeit bringt:
\displaystyle D \dot x + m_{\text{eff}} \dddot x = 0;
Da die Sinus-Funktion nach zweimaligem Ableiten wieder zum Sinus führt (nur mit umgekehrten Vorzeichen), vermuten wir:
\displaystyle \dot x = \hat{\dot x} \cdot \sin \omega t;
Ableiten bestätigt unsere Vermutung:
\displaystyle \ddot x = \hat{\dot x} \omega \cdot \cos \omega t;
\displaystyle \dddot x = -\hat{\dot x} \omega^2 \cdot \sin \omega t;
Einsetzen bringt dann:
\displaystyle D \hat{\dot x} \cdot \sin \omega t - m_{\text{eff}} \hat{\dot x} \omega^2 \cdot \sin \omega t = 0;
Kürzen von \hat{\dot x} und \sin \omega t führt zu:
\displaystyle D - m_{\text{eff}} \omega^2 = 0;
Das Kürzen ist deswegen zulässig, weil keine Lösungen verloren gehen, wenn \hat{\dot x} oder \sin \omega t 0 sind: in diesen Fällen ist die Gleichung immer erfüllt.
\omega errechnet sich damit zu
\displaystyle \left|\omega\right| = \sqrt{\frac{D}{m_{\text{eff}}}};
Nimmt man für m_{\text{eff}} die Spuleninduktivität L und statt D \frac{1}{C} erhält man die bekannte Gleichung für den elektromagnetischen Schwingkreis; unsere Herleitung ist also korrekt.
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