«K12/K13» Grenzwerte bei rationalen Funktionen «PDF», «POD»

0.1 ↑ Grenzwerte bei rationalen Funktionen

0.1.1 ↑ Grundlegende Terminologie

f(x) = \frac{z(x)}{n(x)};$f\left(x\right)=\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)};$

• z$z$: Zählerpolynom

  n$n$: Nennerpolynom

• Zählergrad: Größter Exponent, der im Zählerpolynom z$z$ verwendet wird

  Nennergrad: Größter Exponent, der im Nennerpolynom n$n$ verwendet wird

  Höchste Potenz: x^{\text{insgesamt größter Exponent}}$x^{\text{insgesamt grter Exponent}}$

• "Grenzwert im Unendlichen existiert nicht":

  Man schreibt \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)=\infty$, meint aber (trotz des Gleichheitszeichens), dass der Grenzwert nicht existiert – dass es keinen Wert gibt, dem sich f$f$ immer weiter annähert; stattdessen divergiert f$f$ ("haut ins Unendliche ab").

• \lim\limits_{x \to x_0+}$\underset{x\to x_0+}{lim}$: Man nähert sich von rechts, also von größeren x$x$-Werten als x_0$x_0$, an die Stelle x_0$x_0$ an (andere Schreibweisen sind auch üblich)

  \lim\limits_{x \to x_0-}$\underset{x\to x_0-}{lim}$: Man nähert sich von links, also von kleineren x$x$-Werten als x_0$x_0$, an die Stelle x_0$x_0$ an

Beispiel:

f(x) = \frac{3x^2 + 5x}{9x^3 - 2x + 3}$f\left(x\right)=\frac{3x^2+5x}{9x^3-2x+3}$

• Zählerpolynom: z(x) = 3x^2 + 5x$z\left(x\right)=3x^2+5x$

  Nennerpolynom: n(x) = 9x^3 - 2x + 3$n\left(x\right)=9x^3-2x+3$

• Zählergrad: 2$2$ (wg. 3x^2$3x^2$)

  Nennergrad: 3$3$ (wg. 9x^3$9x^3$)

  Höchste Potenz: x^3$x^3$

0.1.2 ↑ Verhalten im Unendlichen

Gefragt ist nach dem Grenzwert \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{z(x)}{n(x)}$\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}$

0.1.2.1 ↑ Anschaulich

Im Unendlichen (egal ob positiv oder negativ Unendlichen) zählen nur die jeweils höchsten Potenzen, die anderen "sind so klein, dass sie nichts ausmachen".

Beispiele:

• f(x) = \frac{3x^2 + 5x}{9x^3 - 2x + 3} \approx \frac{3x^2}{9x^3} = \frac{1}{3x};$f\left(x\right)=\frac{3x^2+5x}{9x^3-2x+3}\approx \frac{3x^2}{9x^3}=\frac{1}{3x};$

  \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{3x} = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{3x}=0;$

  \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{3x} = 0;$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{3x}=0;$

• f(x) = \frac{3x^2 + 5x}{9x^2 - 2x + 3} \approx \frac{3x^2}{9x^2} = \frac{1}{3};$f\left(x\right)=\frac{3x^2+5x}{9x^2-2x+3}\approx \frac{3x^2}{9x^2}=\frac{1}{3};$

  \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3};$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{3}=\frac{1}{3};$

  \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3};$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{3}=\frac{1}{3};$

• f(x) = \frac{3x^3 + 5x}{9x^2 - 2x + 3} \approx \frac{3x^3}{9x^2} = \frac{x}{3};$f\left(x\right)=\frac{3x^3+5x}{9x^2-2x+3}\approx \frac{3x^3}{9x^2}=\frac{x}{3};$

  \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{3} = \infty;$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x}{3}=\infty ;$

  \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x}{3} = -\infty;$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x}{3}=-\infty ;$

0.1.2.2 ↑ Formal

Zähler und Nenner beide durch die höchste Potenz teilen, also mit der höchsten Potenz kürzen.

Beispiele:

• f(x) = \frac{3x^2 + 5x}{9x^3 - 2x + 3};$f\left(x\right)=\frac{3x^2+5x}{9x^3-2x+3};$

  \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 + 5x}{9x^3 - 2x + 3} = {}\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2/x^3 + 5x/x^3}{9x^3/x^3 - 2x/x^3 + 3/x^3} = {}\frac{0 + 0}{9 - 0 + 0} = \frac{0}{9} = 0;$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^2+5x}{9x^3-2x+3}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^2∕x^3+5x∕x^3}{9x^3∕x^3-2x∕x^3+3∕x^3}=\frac{0+0}{9-0+0}=\frac{0}{9}=0;$

• f(x) = \frac{3x^2 + 5x}{9x^2 - 2x + 3};$f\left(x\right)=\frac{3x^2+5x}{9x^2-2x+3};$

  \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 + 5x}{9x^2 - 2x + 3} = {}\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2/x^2 + 5x/x^2}{9x^2/x^2 - 2x/x^2 + 3/x^2} = {}\frac{3 + 0}{9 - 0 + 0} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^2+5x}{9x^2-2x+3}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^2∕x^2+5x∕x^2}{9x^2∕x^2-2x∕x^2+3∕x^2}=\frac{3+0}{9-0+0}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$

• f(x) = \frac{3x^3 + 5x}{9x^2 - 2x + 3};$f\left(x\right)=\frac{3x^3+5x}{9x^2-2x+3};$

  \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^3 + 5x}{9x^2 - 2x + 3} = {}\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3x^3/x^3 + 5x/x^3}{9x^2/x^3 - 2x/x^3 + 3/x^3} = \mathord{?};$\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^3+5x}{9x^2-2x+3}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{3x^3∕x^3+5x∕x^3}{9x^2∕x^3-2x∕x^3+3∕x^3}=?;$

  Problem: Nenner ist Null → den Grenzwertübergang kann man nicht ausführen; der Grenzwert existiert nicht, f$f$ divergiert also.

0.1.2.3 ↑ Merkregeln

• \text{Zählergrad} < \text{Nennergrad}$\text{Zhlergrad}<\text{Nennergrad}$: Funktion konvergiert gegen Null (bei beiden Seiten, also wenn gegen -\infty$-\infty$ und gegen +\infty$+\infty$ gehend)

• \text{Zählergrad} = \text{Nennergrad}$\text{Zhlergrad}=\text{Nennergrad}$: Funktion konvergiert (bei beiden Seiten) gegen den Wert, der sich ergibt, wenn man alle bis auf die jeweils höchste Potenzen LÖSCHT

  Beispiel:

  \lim\limits \frac{3x^2 + 5x}{9x^2 - 2x + 3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};$lim\frac{3x^2+5x}{9x^2-2x+3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$

• \text{Zählergrad} > \text{Nennergrad}$\text{Zhlergrad}>\text{Nennergrad}$: Funktion divergiert; der Grenzwert existiert nicht

  Ob die Funktion gegen +\infty$+\infty$ oder -\infty$-\infty$ strebt, wenn man gegen +\infty$+\infty$ oder -\infty$-\infty$ läuft, erkennt man am einfachsten über die anschauliche Argumentation.

0.1.3 ↑ Verhalten an einer bestimmten Stelle

Gefragt ist nach dem Grenzwert \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{z(x)}{n(x)}$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}$ mit x_0 \in \mathds{R}$x_0\in \mathbb{ℝ}$; hier geht es also nicht um das Verhalten im Unendlichen.

0.1.3.1 ↑ Vorgehen zum Bestimmen des Grenzwerts an einer bestimmten Stelle

0.1.3.1.1 ↑ Kürzen

Man versucht, den Unterausdruck, der Probleme macht (weil er zu einer Division durch Null führen würde), zu kürzen:

\lim\limits_{x \to 1+} \frac{\left(x-1\right) \left(x-2\right)}{x-1} = {}\lim\limits_{x \to 1+} \left(x-2\right) = {}1-2 = -1;$\underset{x\to 1+}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}=\underset{x\to 1+}{lim}\left(x-2\right)=1-2=-1;$

0.1.3.1.2 ↑ Faktorisieren

Man versucht, Zähler- und Nennerpolynom zu faktorisieren, um danach kürzen zu können:

\lim\limits_{x \to 1+} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = {}\lim\limits_{x \to 1+} \frac{\left(x-1\right) \left(x-2\right)}{x-1} = {}\text{(wie oben)} = -1;$\underset{x\to 1+}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\underset{x\to 1+}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}=\text{(wie oben)}=-1;$

Faktorisieren von quadratischen Ausdrücken über die Lö­sungs­for­mel: ax^2 + bx + c = a \left(x - x_1\right) \left(x - x_2\right)$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ mit x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a};$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};$

Faktorisieren von kubischen Ausdrücken durch Erraten einer Nullstelle und anschließender Polynomdivision

0.1.3.1.3 ↑ h$h$-Methode

Man drückt das Annähern gegen die Stelle x_0$x_0$ durch Annähern an 0$0$ aus. Diese Methode kann man nicht anwenden, wenn man eh schon den Grenzwert an der Stelle 0$0$ bestimmen will.

Beispiel (Substitution x = 1 + h$x=1+h$):

\lim\limits_{x \to 1+} \frac{x^2 - 3x + 2}{\left(1 + h\right) - 1} = {}\lim\limits_{h \to 0+} \frac{\left(1 + h\right)^2 - 3 \left(1 + h\right) + 2}{1 + h - 1} = {}\lim\limits_{h \to 0+} \frac{1 + 2h + h^2 - 3 - 3h + 2}{h} = {}\lim\limits_{h \to 0+} \frac{h^2 - h}{h} = {}\lim\limits_{h \to 0+} \left(h - 1\right) = -1;$\underset{x\to 1+}{lim}\frac{x^2-3x+2}{\left(1+h\right)-1}=\underset{h\to 0+}{lim}\frac{{\left(1+h\right)}^2-3\left(1+h\right)+2}{1+h-1}=\underset{h\to 0+}{lim}\frac{1+2h+h^2-3-3h+2}{h}=\underset{h\to 0+}{lim}\frac{h^2-h}{h}=\underset{h\to 0+}{lim}\left(h-1\right)=-1;$

Man lässt das h$h$ immer von rechts gegen 0$0$ gehen, unabhängig davon, ob der ursprüngliche Grenzwertprozess von links oder rechts durchgeführt werden sollte.

Man substituiert wie folgt:

• x = x_0 + h$x=x_0+h$, wenn der ursprüngliche Grenzwertprozess von rechts ausgeführt werden sollte

• x = x_0 - h$x=x_0-h$, wenn der ursprüngliche Grenzwertprozess von links ausgeführt werden sollte

0.1.3.2 ↑ Anwendungen des Grenzwerts an einer bestimmten Stelle

0.1.3.2.4 ↑ Behebung von Definitionslücken

Beispiel:

f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}; \quad D_f = \mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\};$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-1};D_f=\mathbb{ℝ}\setminus \left\{1\right\};$

Man kann eine Funktion an einer Definitionslücke dann stetig er­gän­zen, wenn der Grenzwert von links mit dem von rechts an der Stelle übereinstimmt:

\lim\limits_{x \to 1+} f(x) = \text{(wie oben)} = -1;$\underset{x\to 1+}{lim}f\left(x\right)=\text{(wie oben)}=-1;$

\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = \cdots = -1;$\underset{x\to 1-}{lim}f\left(x\right)=\cdots =-1;$

Man kann somit folgende Funktion \tilde f$\tilde{f}$ konstruieren, die in allen Stellen, an denen auch die ursprüngliche Funktion f$f$ definiert ist, mit f$f$ übereinstimmt, und die an der Definitionslücke – anders als f$f$ – kein Loch hat, sondern wohldefiniert ist:

\tilde f(x) = \begin{cases} {} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & \text{für } x \neq -1; \\ {} -1 & \text{für } x = -1; \end{cases}$\tilde{f}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-3x+2}{x-1}\hfill & \text{fr }x\ne -1;\hfill \\ -1\hfill & \text{fr }x=-1;\hfill \end{array}\right.$

Hat man zum Bestimmen der Grenzwerte faktorisiert, kann man \tilde f$\tilde{f}$ auch nicht durch eine abschnittsweise Definition ausdrücken:

f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \text{(\ldots faktorisieren\ldots)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}{x - 1};$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\text{(…faktorisieren…)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1};$

\tilde f(x) = x - 2;$\tilde{f}\left(x\right)=x-2;$

Obacht: Auch wenn man den Funktionsterm der ursprünglichen Funktion kürzt, also schreibt...

f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \text{(\ldots faktorisieren\ldots)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x - 2\right)}{x - 1} = x - 2;$f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\text{(…faktorisieren…)}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}=x-2;$

...so ist die ursprüngliche Funktion trotzdem nicht an der problematischen Stelle definiert! Der Definitionsbereich ändert sich nicht durchs Kürzen!

0.1.3.2.5 ↑ Überprüfung auf Stetigkeit

Eine Funktion f$f$ ist an einer Stelle x_0$x_0$ genau dann stetig, wenn der Grenzwert von links mit dem von rechts und zusätzlich noch dem Funktionswert übereinstimmt; in Symbolen:

f$f$ stetig an x_0$x_0$ ⇔ \lim\limits_{x \to x_0+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0-} f(x) = f(x_0);$\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right);$

Sollte einer der beiden Grenzwerte oder sogar beide Grenzwerte nicht existieren, so ist die Funktion an der jeweiligen Stelle nicht stetig.