0.0.1 ↑ 30. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Buch Seite 70, Aufgabe 6
Bestimme für die Folgen \langle a_\nu \rangle den Grenzwert \lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu nach geeigneter Umformung des Terms:
- a)
\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{\left(1 + \nu\right)^2}{1 - \nu^2} = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{1 + \nu}{1 - \nu} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1;
- b)
\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty} 3\frac{\sin\frac{\pi}{\nu}}{\sin\frac{\pi}{2\nu}} = 6;
- c)
\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{\sqrt{\nu + 1} - \sqrt{v}}{\sqrt{\nu + 1} + \sqrt{\nu}} = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{\nu}} - 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\nu}} + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0;
0.0.1.2 ↑ Buch Seite 70, Aufgabe 9
Bestimme für die Folge \langle a_\nu \rangle den Grenzwert a und ermittle eine natürliche Zahl n so, dass \left|a_\nu - a\right| < 0,\!001 wird für alle \nu > n:
- a)
a_\nu = 2 + \frac{1}{\nu + 1}; \Rightarrow \lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = 2 + 0 = 2;
\Rightarrow n = 1000;
- b)
a_\nu = -3 + \frac{\left(-1\right)^\nu}{\sqrt{\nu}}; \Rightarrow \lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = -3 + 0 = -3;
\Rightarrow n = 1000001;