0.0.1 ↑ 37. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Buch Seite 116, Aufgabe 6
Wie lautet die Gleichung der "Halbtangente" an den Graphen der Funktion f: x \mapsto x^3; x \in \left[ -1; \infty \right[ im Punkt P(-1; -1)? Welche Flächenmaßzahl hat das Dreieck, das die Halbtangente mit den Koordinatenachsen bildet?
t: \dfrac{y - y_P}{x - x_P} = \dfrac{y + 1}{x + 1} = f'(-1) = 3; \Rightarrow y = 3x + 3 - 1 = 3x + 2;
t(0) = 2; t(-\frac{2}{3}) = 0;
A = \frac{1}{2} 2 \frac{2}{3} = \frac{2}{3};
0.0.1.2 ↑ Buch Seite 116, Aufgabe 8
Für den Graphen der Funktion f: x \mapsto \sqrt{x}; x \in \mathds{R}_0^+ ist zu bestimmen:
- a)
Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P(\frac{3}{4}; ?);
t: \dfrac{y - y_P}{x - x_P} = \dfrac{y - \sqrt{\frac{3}{4}}}{x - \frac{3}{4}} = f'(\frac{3}{4}) = \dfrac{1}{2\sqrt{\frac{3}{4}}}; \Rightarrow
y = \dfrac{x - \frac{3}{4}}{2\sqrt{\frac{3}{4}}} + \sqrt{\frac{3}{4}} = \dfrac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{4}; \Rightarrow
\arctan \frac{\sqrt{3}}{3} = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6};
- b)
Die Abszisse jenes Kurvenpunktes Q, für den die Tangente unter \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} gegen die x-Achse geneigt ist.
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}; \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{3}} = \sqrt{x}; \Rightarrow x = \frac{1}{12};