0.0.1 ↑ 43. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Buch Seite 123, Aufgabe 15
Gegeben ist die Schar von Funktionen f_a: x \mapsto y = ax^2 - 2x + 1, wobei der Scharparameter a eine beliebige reele Zahl vertritt.
- a)
Für welche Belegung von a geht die Tangente in P(1, ?) \in G_{f_a} durch den Ursprung des Koordinatensystems?
\dfrac{t_a(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{t_a(x) - a + 2 - 1}{x - 1} = \dfrac{t_a(x) - a + 1}{x - 1} = f_a'(1) = 2a - 2; ⇒
t_a: t_a(x) = 2ax - 2x - 2a + 2 + a - 1 = 2\left(a - 1\right)x + 1 - a; ⇒
1 - a = 0; \Rightarrow a = 1;
- b)
Wie lautet die Gleichung der Normalen durch P für beliebige Werte von a?
\dfrac{n_a(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{n_a(x) - a + 1}{x - 1} = -\dfrac{1}{f_a'(1)} = -\dfrac{1}{2a - 2}; ⇒
n_a(x) = -\dfrac{x - 1}{2a - 2} + a - 1 = \dfrac{1}{2 - 2a}x - \dfrac{2a^2 - 4a + 3}{2 - 2a}; \quad a \neq 1;
- c)
Für welche a-Werte bilden Tangente und Normale durch P mit der y-Achse ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge \frac{5}{2}? (Vier Lösungen)
t_a(0) = 1 - a; \quad n_a(0) = -\dfrac{2a^2 - 4a + 3}{2 - 2a};
n_a(0) - t_a(0) = \frac{5}{2}; \Rightarrow L_{a_1} = \ldots = \left\{ \frac{5}{4}, 2 \right\};
t_a(0) - n_a(0) = \frac{5}{2}; \Rightarrow L_{a_2} = \ldots = \left\{ 0, \frac{3}{4} \right\};
⇒ L_a = L_{a_1} \cup L_{a_2} = \left\{ 0, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, 2 \right\};
