«11C» 47. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 47. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

\mathrm{f}(x) = -\frac{4}{5}x^5 + 3x^3 = -\frac{4}{5}x^3\left(x + \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\left(x - \frac{\sqrt{15}}{2}\right);$\text{f}\left(x\right)=-\frac{4}{5}{x}^5+3x^3=-\frac{4}{5}{x}^3\left(x+\frac{\sqrt{15}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{15}}{2}\right);$

Nullstellen

N_1(-\frac{\sqrt{15}}{2}, 0); \quad N_2(0, 0); \quad N_3(\frac{\sqrt{15}}{2}, 0);$N_1\left(-\frac{\sqrt{15}}{2},0\right);N_2\left(0,0\right);N_3\left(\frac{\sqrt{15}}{2},0\right);$

Symmetrie

\mathrm{f}(-x) = \frac{4}{5}x^5 - 3x^3 = -\mathrm{f}(x);$\text{f}\left(-x\right)=\frac{4}{5}{x}^5-3x^3=-\text{f}\left(x\right);$ ⇒ Symmetrie zum Ursprung;

Extrema und Terassenpunkte

\mathrm{f}'(x) = -4x^4 + 9x^2 = 0;${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=-4x^4+9x^2=0;$ ⇒

x_1 = -\frac{3}{2}; \quad x_2 = 0; \quad x_3 = \frac{3}{2};$x_1=-\frac{3}{2};x_2=0;x_3=\frac{3}{2};$

\mathrm{f}''(x) = -16x^3 + 18x;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=-16x^3+18x;$

• \mathrm{f}''(x_1) = \mathrm{f}''(-\frac{3}{2}) = 27 > 0; \Rightarrow P_{\mathrm{TIP}}(-\frac{3}{2}, -\frac{81}{20});${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_1\right)={\text{f}}^{\prime \prime }\left(-\frac{3}{2}\right)=27>0;\Rightarrow P_{\text{TIP}}\left(-\frac{3}{2},-\frac{81}{20}\right);$

• \mathrm{f}''(x_2) = \mathrm{f}''(0) = 0;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_2\right)={\text{f}}^{\prime \prime }\left(0\right)=0;$ ⇒ Vorzeichenanalyse notwendig: \mathrm{f}'(x)${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)$ wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von x_2$x_2$ nicht; ⇒ P_{\mathrm{TEP}}(0, 0);$P_{\text{TEP}}\left(0,0\right);$

• \mathrm{f}''(x_3) = \mathrm{f}''(\frac{3}{2}) = -27 < 0; \Rightarrow P_{\mathrm{HOP}}(\frac{3}{2}, \frac{81}{20});${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_3\right)={\text{f}}^{\prime \prime }\left(\frac{3}{2}\right)=-27<0;\Rightarrow P_{\text{HOP}}\left(\frac{3}{2},\frac{81}{20}\right);$

0.0.1.2 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

\mathrm{f}(x) = 2x^2 - \sqrt{x}; \quad D_f = \mathds{R}_0^+;$\text{f}\left(x\right)=2x^2-\sqrt{x};D_f=R_0^{+};$

Nullstellen

N_1(0, 0); \quad N_2(\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}, 0);$N_1\left(0,0\right);N_2\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{2},0\right);$

Symmetrie

\mathrm{f}$\text{f}$ ist in \mathds{R}^-$R^{-}$ nicht definiert; ⇒ Keine Symmetrie zur y$y$-Achse oder zum Ursprung;

Extremum

\mathrm{f}'(x_0) = 4x_0 - \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 0; \Rightarrow x_0 = \frac{1}{4};${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)=4x_0-\frac{1}{2\sqrt{x_0}}=0;\Rightarrow x_0=\frac{1}{4};$

\mathrm{f}'(x)${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)$ wechselt in der Umgebung von x_0$x_0$ das Vorzeichen von -$-$ nach +$+$; ⇒ P_{\mathrm{TIP}}(\frac{1}{4}, -\frac{3}{8});$P_{\text{TIP}}\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{8}\right);$

Monotonie

\mathrm{f}$\text{f}$ ist in \left[ 0, \frac{1}{4} \right[$\left[0,\frac{1}{4}\right[$ smf, in \left[ \frac{1}{4}, \infty \right[$\left[\frac{1}{4},\infty \right[$ sms.