«11C» 49. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 49. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 107, Aufgabe 1

Für die Funktion f: x \mapsto f(x) = x^2 + 2$f:x\mapsto f\left(x\right)=x^2+2$ trifft bezüglich des Intervalls I = \left[-1, 2\right]$I=\left[-1,2\right]$ die Aussage des Extremwertsatzes zu. Warum? Gib das Maximum und das Minimum an!

f$f$ ist in I$I$ stetig ⇒ Anwendung des Extremwertsatzes möglich

x_s = 0; \\$x_s=0;$ f(-1) = 3; \\$f\left(-1\right)=3;$ f(2) = 6;$f\left(2\right)=6;$

⇒ P_{\mathrm{HOP}}(2, 6); \quad P_{\mathrm{TIP}}(0, 2);$P_{\text{HOP}}\left(2,6\right);P_{\text{TIP}}\left(0,2\right);$

0.0.1.2 ↑ Buch Seite 108, Aufgabe 5

Hat f$f$ in I = \left[-1, 2\right]$I=\left[-1,2\right]$ eine Nullstelle? Begründe, warum man den Nullstellensatz anwenden darf bzw. warum nicht!

a)

f: x \mapsto f(x) = -x^3 + 4x + 1; \quad D_f = \mathds{R};$f:x\mapsto f\left(x\right)=-x^3+4x+1;D_f=R;$

f$f$ ist in I$I$ stetig ⇒ Anwendung des Nullstellensatzes möglich

f(-1) = -4; \\$f\left(-1\right)=-4;$ f(2) = 17;$f\left(2\right)=17;$

⇒ Ja, f$f$ hat in I$I$ eine Nullstelle.

b)

f: x \mapsto f(x) = x^2 - 2; \quad D_f = \mathds{R};$f:x\mapsto f\left(x\right)=x^2-2;D_f=R;$

f$f$ ist in I$I$ stetig ⇒ Anwendung des Nullstellensatzes möglich

f(-1) = -1; \\$f\left(-1\right)=-1;$ f(2) = 2;$f\left(2\right)=2;$

⇒ Ja, f$f$ hat in I$I$ eine Nullstelle.