«11C» 51. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 51. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 159, Aufgabe 2

Welches Krümmungsverhalten zeigt die Funktion \mathrm{f}$\text{f}$ in einer Umgebung der Stelle x_0$x_0$?

a)

\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = x^4 - 3x^2; \quad x_0 = -1;$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right)=x^4-3x^2;x_0=-1;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = 4x^3 - 6x;${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-6x;$

⇒ \mathrm{f}''(x) = 12x^2 - 6;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-6;$

⇒ \mathrm{f}''(x_0) = \mathrm{f}''(-1) = 12 - 6 = 6;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_0\right)={\text{f}}^{\prime \prime }\left(-1\right)=12-6=6;$

⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist an der Stelle x_0$x_0$ linksgekrümmt.

b)

\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = x^3 - 4x; \quad x_0 = 2;$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right)=x^3-4x;x_0=2;$

⇒ \mathrm{f}'(x) = 3x^2 - 4;${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4;$

⇒ \mathrm{f}''(x) = 6x;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=6x;$

⇒ \mathrm{f}''(x_0) = \mathrm{f}''(2) = 12;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x_0\right)={\text{f}}^{\prime \prime }\left(2\right)=12;$

⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist an der Stelle x_0$x_0$ linksgekrümmt.

0.0.1.2 ↑ Buch Seite 159, Aufgabe 1

Bestimme für die folgende Funktion \mathrm{f}: x \mapsto f(x); \quad x \in \mathds{R}$\text{f}:x\mapsto f\left(x\right);x\in R$ die x$x$-Werte der Extrema und die Wendepunkte (soweit vorhanden) des Graphen.

\mathrm{f}(x) = x^2 - 6x + 5;$\text{f}\left(x\right)=x^2-6x+5;$

⇒ \mathrm{f}'(x_{\mathrm{TIP}}) = 2x_{\mathrm{TIP}} - 6 = 0; \Rightarrow x_{\mathrm{TIP}} = 3;${\text{f}}^{\prime }\left(x_{\text{TIP}}\right)=2x_{\text{TIP}}-6=0;\Rightarrow x_{\text{TIP}}=3;$

⇒ \mathrm{f}''(x) = 2;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=2;$

⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ hat in D_f$D_f$ keine Wendepunkte.