«11C» 55. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 55. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 163, Aufgabe 14

Gegeben ist \mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \frac{1}{7}\left|x^2 + 3x - 10\right|.$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right)=\frac{1}{7}\left|x^2+3x-10\right|.$

Wo ist \mathrm{f}$\text{f}$ nicht differenzierbar? Zeichne G_{\mathrm{f}}$G_{\text{f}}$ und G_{\mathrm{f}'}$G_{{\text{f}}^{\prime }}$ in \left[ -6, 6 \right]$\left[-6,6\right]$! Welche sprunghafte Richtungsänderung erfährt die Tangente beim Überschreiten jener Stellen, an denen die Funktion keine Ableitung hat? Wo ist \mathrm{f}(x) < \frac{7}{4}$\text{f}\left(x\right)<\frac{7}{4}$?

x^2 + 3x - 10 = 0; \Rightarrow x_1 = -5; \quad x_2 = 2;$x^2+3x-10=0;\Rightarrow x_1=-5;x_2=2;$

{} \mathrm{f}'(x) = \begin{cases} {} \frac{1}{7} \left(2x + 3\right) & \text{f"ur } x < -5 \vee x > 2; \\ {} -\frac{1}{7}\left(2x + 3\right) & \text{f"ur } x \in \left] -5, 2 \right[; {} \end{cases} ${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{7}\left(2x+3\right)\hfill & \text{f”ur }x<-5\vee x>2;\hfill \\ -\frac{1}{7}\left(2x+3\right)\hfill & \text{f”ur }x\in \left]-5,2\right[;\hfill \end{array}\right.$

\lim\limits_{x \to -5\pm} \mathrm{f}'(x) = \mp 1;$\underset{x\to -5\pm }{lim}{\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\mp 1;$ ⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist an -5$-5$ nicht diffbar;

\lim\limits_{x \to 2\pm} \mathrm{f}'(x) = \pm 1;$\underset{x\to 2\pm }{lim}{\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\pm 1;$ ⇒ \mathrm{f}$\text{f}$ ist an 2$2$ nicht diffbar;

Die Richtungsänderung beträgt jeweils 90^\circ$90^{\circ }$.

\frac{1}{7}\left(x^2 + 3x - 10\right) < \frac{7}{4}; \Rightarrow L = \left] -\dfrac{7\sqrt{2} + 3}{2}, \dfrac{7\sqrt{2} - 3}{2} \right[ \setminus \left\{ -\dfrac{3}{2} \right\};$\frac{1}{7}\left(x^2+3x-10\right)<\frac{7}{4};\Rightarrow L=\left]-\frac{7\sqrt{2}+3}{2},\frac{7\sqrt{2}-3}{2}\right[\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\};$