«11C» 59. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 59. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 145, Aufgabe 14

Gegegen ist die Funktion \varphi: x \mapsto \varphi(x) = y = \sqrt{4 - x^2}; \quad x \in D_{\mathrm{max}};$\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right)=y=\sqrt{4-x^2};x\in D_{\text{max}};$

a)

Gib D_{\mathrm{max}}$D_{\text{max}}$ an!

4 - x^2 \ge 0; \Rightarrow 4 \ge x^2; \Rightarrow 2 \ge \left|x\right|;$4-x^2\ge 0;\Rightarrow 4\ge x^2;\Rightarrow 2\ge \left|x\right|;$

⇒ D_{\mathrm{max}} = \left[ -2, 2 \right];$D_{\text{max}}=\left[-2,2\right];$

b)

Differenziere \varphi$\varphi$ und bestimme den Differenzierbarkeitsbereich D_{\varphi'}$D_{{\varphi }^{\prime }}$!

\varphi'(x) = -\dfrac{2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}};${\varphi }^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2x}{2\sqrt{4-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}};$

⇒ D_{\varphi'} = D_{\mathrm{max}} \setminus \left\{ -2, 2 \right\} = \left] -2, 2 \right[;$D_{{\varphi }^{\prime }}=D_{\text{max}}\setminus \left\{-2,2\right\}=\left]-2,2\right[;$

c)

Stelle die Gleichung der Normalen in einem beliebigen Punkt P(x_0, y_0)$P\left(x_0,y_0\right)$ des Funktionsgraphen G_\varphi$G_{\varphi }$ auf und zeige, dass sie durch den Ursprung geht!

\dfrac{n(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0} = -\dfrac{1}{\varphi'(x_0)} = \dfrac{\sqrt{4 - x_0^2}}{x_0};$\frac{n\left(x\right)-\varphi \left(x_0\right)}{x-x_0}=-\frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left(x_0\right)}=\frac{\sqrt{4-x_0^2}}{x_0};$

⇒ n(x) = \frac{x}{x_0} \sqrt{4 - x_0^2};$n\left(x\right)=\frac{x}{x_0}\sqrt{4-x_0^2};$

n(0) = \frac{0}{x_0} \sqrt{4 - x_0^2} = 0;$n\left(0\right)=\frac{0}{x_0}\sqrt{4-x_0^2}=0;$ ⇒ Die Normale in einem beliebigen Punkt P(x_0, y_0)$P\left(x_0,y_0\right)$ des Funktionsgraphen G_\varphi$G_{\varphi }$ geht durch den Ursprung;

d)

Zeichne G_\varphi$G_{\varphi }$ und erkläre das Ergebnis von Teilaufgabe c) geometrisch! Hinweis: Berechne x^2 + y^2$x^2+y^2$!

x^2 + n(x)^2 = x^2 + \left(\frac{x}{x} \sqrt{4 - x^2}\right)^2 = x^2 + 4 - x^2 = 2^2;$x^2+n{\left(x\right)}^2=x^2+{\left(\frac{x}{x}\sqrt{4-x^2}\right)}^2=x^2+4-x^2=2^2;$

⇒ Bei \varphi(x)$\varphi \left(x\right)$ handelt es sich um einen Halbkreis mit dem Radius 2$2$;