«11C» 61. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 61. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Aufgabe 2 der Test-SA

Bestimme die ganzrationale Funktion \mathrm{f}$\text{f}$ dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt hat. Außerdem hat der Graph im Punkt P(2, 0)$P\left(2,0\right)$ eine Tangente, die parallel zur Geraden y = -8x + 1$y=-8x+1$ verläuft. (Kontrolle?)

\mathrm{f}(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; \\$\text{f}\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d;$ \mathrm{f}'(x) = 3ax^2 + 2bx + c; \\${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c;$ \mathrm{f}''(x) = 6ax + 2b;${\text{f}}^{\prime \prime }\left(x\right)=6ax+2b;$

{} \begin{array}{llcl} {} \mathrm{I.} & \mathrm{f}(0) = 0; &\Rightarrow& d = 0; \\ {} \mathrm{II.} & \mathrm{f}''(0) = 0; &\Rightarrow& 2b = 0; \Rightarrow b = 0; \\ {} \mathrm{III.} & \mathrm{f}(2) = 0; &\Rightarrow& 8a + 2c = 8a - 16 - 24a = 0; \Rightarrow a = -1; \\ {} \mathrm{IV.} & \mathrm{f}'(2) = -8; &\Rightarrow& 12a + c = -8; \Rightarrow c = -8 - 12a; \Rightarrow c = -8 + 12 = 4; {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\text{I.}\hfill & \text{f}\left(0\right)=0;\hfill & \hfill \Rightarrow \hfill & d=0;\hfill \\ \text{II.}\hfill & {\text{f}}^{\prime \prime }\left(0\right)=0;\hfill & \hfill \Rightarrow \hfill & 2b=0;\Rightarrow b=0;\hfill \\ \text{III.}\hfill & \text{f}\left(2\right)=0;\hfill & \hfill \Rightarrow \hfill & 8a+2c=8a-16-24a=0;\Rightarrow a=-1;\hfill \\ \text{IV.}\hfill & {\text{f}}^{\prime }\left(2\right)=-8;\hfill & \hfill \Rightarrow \hfill & 12a+c=-8;\Rightarrow c=-8-12a;\Rightarrow c=-8+12=4;\hfill \end{array}$

⇒ \mathrm{f}(x) = -x^3 + 4x;$\text{f}\left(x\right)=-x^3+4x;$

0.0.1.2 ↑ Aufgabe 4 der Test-SA

Betrachtet wird die Funktionenschar \mathrm{f}_t(x) = \frac{t}{3}x^3 + 3x^2 - 5x${\text{f}}_t\left(x\right)=\frac{t}{3}{x}^3+3x^2-5x$ mit t \neq 0$t\ne 0$.

a)

Für welche Werte des Parameters t$t$ besitzen die Funktionen \mathrm{f}_t${\text{f}}_t$ keine, genaue eine, zwei waagrechte Tangenten?

\mathrm{f}_t'(x) = tx^2 + 6x - 5 = 0;${\text{f}}_t^{\prime }\left(x\right)=t{x}^2+6x-5=0;$

⇒ x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 20t}}{2t};$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36+20t}}{2t};$

⇒ 36 + 20t = 0; \Rightarrow t = -\frac{9}{5};$36+20t=0;\Rightarrow t=-\frac{9}{5};$

• Für t < -\frac{9}{5}$t<-\frac{9}{5}$: Keine waagrechten Tangenten

• Für t = -\frac{9}{5}$t=-\frac{9}{5}$: Genau eine waagrechte Tangente

• Für t > -\frac{9}{5}$t>-\frac{9}{5}$: Genau zwei waagrechte Tangenten

b)

Zeige, dass die Kurven G_{\mathrm{f}_t}$G_{{\text{f}}_t}$ genau einen Wendepunkt W$W$ besitzen und bestimme dessen Koordinaten in Abhängigkeit von t$t$.

\mathrm{f}_t''(x_W(t)) = 2tx_W(t) + 6 = 0; \Rightarrow x_W(t) = -\frac{3}{t};${\text{f}}_t^{\prime \prime }\left(x_W\left(t\right)\right)=2t{x}_W\left(t\right)+6=0;\Rightarrow x_W\left(t\right)=-\frac{3}{t};$

y_W(t) = \mathrm{f}\!\left(-\frac{3}{t}\right) = \frac{15}{t} + \frac{18}{t^2} = 2 \frac{3}{t}\frac{3}{t} + 5\frac{3}{t};$y_W\left(t\right)=\text{f}\left(-\frac{3}{t}\right)=\frac{15}{t}+\frac{18}{t^2}=2\frac{3}{t}\frac{3}{t}+5\frac{3}{t};$

c)

Bestimme die Gleichung der Ortslinie, auf der alle Wendepunkte der Schar liegen. Welcher Punkt dieser Kurve ist kein Wendepunkt der Schar? (Begründung!)

x_W(t) = -\frac{3}{t}; \Rightarrow t = -\frac{3}{x_W(t)}; \quad x \neq 0;$x_W\left(t\right)=-\frac{3}{t};\Rightarrow t=-\frac{3}{x_W\left(t\right)};x\ne 0;$

⇒ y_W(x_W(t)) = y_W(x) = 2x^2 - 5x; \quad x \neq 0;$y_W\left(x_W\left(t\right)\right)=y_W\left(x\right)=2x^2-5x;x\ne 0;$

(0, 0)$\left(0,0\right)$ ist kein Wendepunkt der Schar \mathrm{f}_t${\text{f}}_t$.