«11C» 62. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 62. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Aufgabe 3 der Test-SA

Gegeben: \mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \dfrac{x^2}{2x - 2}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\};$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right)=\frac{x^2}{2x-2};D_{\text{f}}=R\setminus \left\{1\right\};$

a)

Bestimme die Monotoniebereiche von \mathrm{f}$\text{f}$ und schließe damit auf die Art und Lage der Extrema von \mathrm{f}$\text{f}$.

\mathrm{f}'(x) = \ldots = 2x \dfrac{x - 2}{\left(2x - 2\right)^2};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\dots =2x\frac{x-2}{{\left(2x-2\right)}^2};$

\mathrm{f}$\text{f}$ ist sms in \left]-\infty, 0\right[$\left]-\infty ,0\right[$ und \left]2, \infty\right[;$\left]2,\infty \right[;$

\mathrm{f}$\text{f}$ ist smf in \left]0, 1\right[$\left]0,1\right[$ und \left]1, 2\right[;$\left]1,2\right[;$

P_{\mathrm{HOP}}(0, 0); \quad$P_{\text{HOP}}\left(0,0\right);$ P_{\mathrm{TIP}}(2, 2); \quad$P_{\text{TIP}}\left(2,2\right);$ Uendlichkeitsstelle mit VZW bei x = 1;$x=1;$

b)

Gegeben ist ferner die Funktion \mathrm{g}: x \mapsto \mathrm{g}(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}$\text{g}:x\mapsto \text{g}\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$. Berechne \lim\limits_{x \to \infty}\left[\mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x)\right]$\underset{x\to \infty }{lim}\left[\text{f}\left(x\right)-\text{g}\left(x\right)\right]$ und deute dieses Ergebnis geometrisch!

\lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2}{2x - 2} - \dfrac{x + 1}{2}\right] = \lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2 - \left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}{2\left(x - 1\right)}\right] = \lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2 - x^2 + 1}{2\left(x - 1\right)}\right];$\underset{x\to \infty }{lim}\left[\frac{x^2}{2x-2}-\frac{x+1}{2}\right]=\underset{x\to \infty }{lim}\left[\frac{x^2-\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)}\right]=\underset{x\to \infty }{lim}\left[\frac{x^2-x^2+1}{2\left(x-1\right)}\right];$ ⇒ \mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x) \to 0$\text{f}\left(x\right)-\text{g}\left(x\right)\to 0$ für x \to \infty;$x\to \infty ;$

\mathrm{g}(x)$\text{g}\left(x\right)$ ist eine Asymptote von \mathrm{f}(x)$\text{f}\left(x\right)$;