«11C» 63. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 63. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

Einem Kreis mit Radius r$r$ soll das Rechteck mit maximalen Flächeninhalt einbeschrieben werden.

{} \left.\begin{array}{l} {} a^2 + b^2 = r^2; \Rightarrow a = \sqrt{r^2 - b^2}; \\ {} \mathrm{A}(b) = 2a \cdot 2b; {} \end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{A}(b) = 4b\sqrt{r^2 - b^2};$\left.\begin{array}{c}{a}^2+b^2=r^2;\Rightarrow a=\sqrt{r^2-b^2};\hfill \\ \text{A}\left(b\right)=2a\cdot 2b;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow \text{A}\left(b\right)=4b\sqrt{r^2-b^2};$

⇒ \mathrm{A}'(b_0) = 4\sqrt{r^2 - b_0^2} + 4b \dfrac{1}{2\sqrt{r^2 - b_0^2}} \left(-2b_0\right) = 4\sqrt{r^2 - b_0^2} - 4b^2\left(\sqrt{r^2 - b_0^2}\right)^{-1};${\text{A}}^{\prime }\left(b_0\right)=4\sqrt{r^2-b_0^2}+4b\frac{1}{2\sqrt{r^2-b_0^2}}\left(-2b_0\right)=4\sqrt{r^2-b_0^2}-4b^2{\left(\sqrt{r^2-b_0^2}\right)}^{-1};$

⇒ \mathrm{A}'(b_0) = 0; \Rightarrow r^2 - b_0^2 = b_0^2;${\text{A}}^{\prime }\left(b_0\right)=0;\Rightarrow r^2-b_0^2=b_0^2;$

⇒ b_0 = \dfrac{\left|r\right|}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left|r\right|;$b_0=\frac{\left|r\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|r\right|;$

⇒ a_0 = \sqrt{r^2 - b_0^2} = \sqrt{r^2 - \dfrac{r^2}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left|r\right|;$a_0=\sqrt{r^2-b_0^2}=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|r\right|;$