«11C» 65. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 65. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 178, Aufgabe 16

Einem geraden Kreiskegel wird ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben. Man zeige, dass das Zylindervolumen nicht größer sein kann als \frac{4}{9}$\frac{4}{9}$ des Kegelvolumens.

\mathrm{g}(x) = \frac{H}{R} x;$\text{g}\left(x\right)=\frac{H}{R}x;$

⇒ h = \mathrm{g}(R - r) = H\left(1 - \frac{r}{R}\right);$h=\text{g}\left(R-r\right)=H\left(1-\frac{r}{R}\right);$

⇒ \mathrm{v}(r) = \pi r^2 H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = \pi r^2 H - \pi r^3 \frac{H}{R}; $\text{v}\left(r\right)=\pi r^{2}H\left(1-\frac{r}{R}\right)=\pi r^{2}H-\pi r^3\frac{H}{R};$

⇒ \mathrm{v}'(r) = 2\pi r H - 3\pi r^2 \frac{H}{R} = 0; \Rightarrow r = \frac{2}{3} R;${\text{v}}^{\prime }\left(r\right)=2\pi rH-3\pi r^2\frac{H}{R}=0;\Rightarrow r=\frac{2}{3}R;$

⇒ v_{\mathrm{max}} = \mathrm{v}(\frac{2}{3}R) = \frac{4}{9}\pi R^2 H\left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{4}{27} \pi R^2 H;$v_{\text{max}}=\text{v}\left(\frac{2}{3}R\right)=\frac{4}{9}\pi R^{2}H\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{27}\pi R^{2}H;$

V = \frac{1}{3} \pi R^2 H;$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H;$

⇒ \frac{v_{\mathrm{max}}}{V} = \frac{4}{9};$\frac{v_{\text{max}}}{V}=\frac{4}{9};$