«11C» 1. Ex «PDF», «POD»

0.1 ↑ Tests

0.1.1 ↑ 1. Extemporale aus der Mathematik

Gruppe A, geschrieben am 30.9.2004.

f_t\left(x\right) = \frac{t}{4}x - \left(2t+1\right); t \in \mathds{R}; x \in \mathds{R};$f_t\left(x\right)=\frac{t}{4}x-\left(2t+1\right);t\in R;x\in R;$

1a) (4 Punkte)

Welche Schargerade steht auf der Schargeraden mit dem Parameterwert t = 1$t=1$ senkrecht? Funktionsgleichung und zugehörigen Parameterwert bestimmen!

m = \frac{1}{4}; \overline{m} = -4;$m=\frac{1}{4};\overline{m}=-4;$

\frac{t}{4} = -4; \Longrightarrow t = -16;$\frac{t}{4}=-4;\Rightarrow t=-16;$

f_{-16}\left(x\right) = -4x - \left(2\cdot{}-16+1\right) = -4x + 31;$f_{-16}\left(x\right)=-4x-\left(2\cdot -16+1\right)=-4x+31;$

1b) (3 Punkte)

In welchem Punkt S$S$ schneiden sich diese beiden zueinander senkrechten Geraden? Rechnung!

{} \begin{array}{rcl|l} {} \frac{1}{4}x - 3 & = & -4x + 31 & +4x +3 \\ {} \frac{17}{4}x & = & 34 & \cdot \frac{4}{17} \\ {} x & = & 8 {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill \frac{1}{4}x-3& \hfill =\hfill & -4x+31\hfill & +4x+3\hfill \\ \hfill \frac{17}{4}x& \hfill =\hfill & 34\hfill & \cdot \frac{4}{17}\hfill \\ \hfill x& \hfill =\hfill & 8\hfill \end{array}$

y = \frac{1}{4} \cdot 8 - 3 = -1;$y=\frac{1}{4}\cdot 8-3=-1;$

S\left(8; -1\right);$S\left(8;-1\right);$

2) (3 Punkte)

Bestimme die Achsenschnittpunkte S_x$S_x$ und S_y$S_y$ der Schargeraden in Abhängigkeit von t$t$.

S_y\left(0; -2t-1\right);$S_y\left(0;-2t-1\right);$

{} \begin{array}{rcl|l} {} \frac{t}{4}x - \left(2t+1\right) & = & 0 & +\left(2t+1\right) \\ {} \frac{t}{4}x & = & 2t + 1 & \cdot\frac{4}{t} \\ {} x & = & \frac{8t + 4}{t} {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill \frac{t}{4}x-\left(2t+1\right)& \hfill =\hfill & 0\hfill & +\left(2t+1\right)\hfill \\ \hfill \frac{t}{4}x& \hfill =\hfill & 2t+1\hfill & \cdot \frac{4}{t}\hfill \\ \hfill x& \hfill =\hfill & \frac{8t+4}{t}\hfill \end{array}$

S_x\left(\frac{8t + 4}{t}; 0\right);$S_x\left(\frac{8t+4}{t};0\right);$

3) (5 Punkte)

Bei welchem Parameterwert sind die Nullstellen 2$2$ Längeneinheiten vom Ursprung entfernt?

{} \begin{array}{rcl|l} {} \frac{8t + 4}{t} & = & \pm 2 & \cdot t \\ {} 8t + 4 & = & t \cdot \pm 2 & -t\cdot\pm 2 - 4 \\ {} t\left(8 - \pm 2\right) & = & -4 & : \left(...\right) \\ {} t & = & -\frac{4}{8 - \pm 2} {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill \frac{8t+4}{t}& \hfill =\hfill & \pm 2\hfill & \cdot t\hfill \\ \hfill 8t+4& \hfill =\hfill & t\cdot \pm 2\hfill & -t\cdot \pm 2-4\hfill \\ \hfill t\left(8-\pm 2\right)& \hfill =\hfill & -4\hfill & :\left(...\right)\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & -\frac{4}{8-\pm 2}\hfill \end{array}$

t_1 = -\frac{2}{3}; t_2 = -\frac{2}{5};$t_1=-\frac{2}{3};t_2=-\frac{2}{5};$

4) (4 Punkte)

Untersuche, ob alle Stellen der x$x$-Achse Nullstellen von Schargeraden sind!

{} \begin{array}{rcl|l} {} \frac{8t + 4}{t} & = & x & \cdot t \\ {} 8t + 4 & = & tx & -tx - 4 \\ {} t\left(8 - x\right) & = & -4 & : \left(...\right) \\ {} t & = & -\frac{4}{8 - x} {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill \frac{8t+4}{t}& \hfill =\hfill & x\hfill & \cdot t\hfill \\ \hfill 8t+4& \hfill =\hfill & tx\hfill & -tx-4\hfill \\ \hfill t\left(8-x\right)& \hfill =\hfill & -4\hfill & :\left(...\right)\hfill \\ \hfill t& \hfill =\hfill & -\frac{4}{8-x}\hfill \end{array}$

{} \begin{array}{rcl|l} {} 8 - x & \neq & 0 & +x \\ {} 8 & \neq & x {} \end{array}$\begin{array}{cccc}\hfill 8-x& \hfill \ne \hfill & 0\hfill & +x\hfill \\ \hfill 8& \hfill \ne \hfill & x\hfill \end{array}$

x = 8$x=8$ kann keine Nullstelle sein.