«11C» 20. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 20. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 68, Aufgabe 6

Von einer Drehung z \mapsto w = az + b$z\mapsto w=az+b$ kennt man den Fixpunkt z_0 = \mathrm{i}$z_0=\text{i}$ und den Drehwinkel \alpha = 45^\circ$\alpha =45^{\circ }$. Bestimme a$a$ und b$b$!

z \mapsto \mathrm{f}(z) = w = az + b;$z\mapsto \text{f}\left(z\right)=w=az+b;$

\mathrm{f}(z_0) = \mathrm{f}(\mathrm{i}) = \mathrm{i}a + b = \mathrm{i}; \Rightarrow a = \frac{\mathrm{i} - b}{\mathrm{i}} = 1 + b\mathrm{i};$\text{f}\left(z_0\right)=\text{f}\left(\text{i}\right)=\text{i}a+b=\text{i};\Rightarrow a=\frac{\text{i}-b}{\text{i}}=1+b\text{i};$

\alpha = \mathrm{arc}\left(1 + b\mathrm{i}\right) = \arctan b;$\alpha =\text{arc}\left(1+b\text{i}\right)=arctanb;$

⇒ \tan\alpha = 1 = b;$tan\alpha =1=b;$

⇒ a = 1 + \mathrm{i};$a=1+\text{i};$