«11C» 21. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 21. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

Gegeben sind die Abbildungen

• \mathrm{f}_1(z) = z^*;${\text{f}}_1\left(z\right)=z^{\ast };$

• \mathrm{f}_2(z) = z^* + 4;${\text{f}}_2\left(z\right)=z^{\ast }+4;$

• \mathrm{f}_3(z) = z^* + 4\mathrm{i};${\text{f}}_3\left(z\right)=z^{\ast }+4\text{i};$

• \mathrm{f}_4(z) = -z^* + 4;${\text{f}}_4\left(z\right)=-z^{\ast }+4;$

• \mathrm{f}_5(z) = \mathrm{i}z^* + 4 - 4\mathrm{i};${\text{f}}_5\left(z\right)=\text{i}{z}^{\ast }+4-4\text{i};$

a)

Bestimme und zeichne jeweils das Bild des Dreiecks z_1 = 3\mathrm{i}$z_1=3\text{i}$, z_2 = -2 - 2\mathrm{i}$z_2=-2-2\text{i}$, z_3 = 2 - 2\mathrm{i}$z_3=2-2\text{i}$.

b)

Berechne, ob die Abbildungen Fixpunkte haben.

z_0 = x_0 + y_0\mathrm{i} \in \mathds{C}; \quad x_0, y_0 \in \mathds{R};$z_0=x_0+y_0\text{i}\in C;x_0,y_0\in R;$

\mathrm{f}_1${\text{f}}_1$

\mathrm{f}_1(z_0) = \mathrm{f}_1(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i} = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow -y_0 = y_0; \Rightarrow y_0 = 0;${\text{f}}_1\left(z_0\right)={\text{f}}_1\left(x_0+y_0\text{i}\right)=x_0-y_0\text{i}=x_0+y_0\text{i};\Rightarrow -y_0=y_0;\Rightarrow y_0=0;$

⇒ z_0 \in \mathds{R}$z_0\in R$ sind Fixpunkte.

\mathrm{f}_2${\text{f}}_2$

\mathrm{f}_2(z_0) = \mathrm{f}_2(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i} + 4 = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = -2\mathrm{i};${\text{f}}_2\left(z_0\right)={\text{f}}_2\left(x_0+y_0\text{i}\right)=x_0-y_0\text{i}+4=x_0+y_0\text{i};\Rightarrow y_0=-2\text{i};$

⇒ Es gibt keine Fixpunkte, da -2\mathrm{i} \notin \mathds{R}$-2\text{i}\notin R$.

\mathrm{f}_3${\text{f}}_3$

\mathrm{f}_3(z_0) = \mathrm{f}_3(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i} + 4\mathrm{i} = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = 2;${\text{f}}_3\left(z_0\right)={\text{f}}_3\left(x_0+y_0\text{i}\right)=x_0-y_0\text{i}+4\text{i}=x_0+y_0\text{i};\Rightarrow y_0=2;$

⇒ z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Im}(z) = 2 \right\};$z_0\in \left\{z\mid z\in C\wedge \text{Im}\left(z\right)=2\right\};$

\mathrm{f}_4${\text{f}}_4$

\mathrm{f}_4(z_0) = \mathrm{f}_4(x_0 + y_0\mathrm{i}) = -x_0 + y_0\mathrm{i} + 4 = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow x_0 = 2;${\text{f}}_4\left(z_0\right)={\text{f}}_4\left(x_0+y_0\text{i}\right)=-x_0+y_0\text{i}+4=x_0+y_0\text{i};\Rightarrow x_0=2;$

⇒ z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Re}(z) = 2 \right\};$z_0\in \left\{z\mid z\in C\wedge \text{Re}\left(z\right)=2\right\};$

\mathrm{f}_5${\text{f}}_5$

\mathrm{f}_5(z_0) = \mathrm{f}_5(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0\mathrm{i} + y_0 + 4 - 4\mathrm{i} = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = -4 + x_0;${\text{f}}_5\left(z_0\right)={\text{f}}_5\left(x_0+y_0\text{i}\right)=x_0\text{i}+y_0+4-4\text{i}=x_0+y_0\text{i};\Rightarrow y_0=-4+x_0;$

⇒ z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Im}(z) = -4 + \mathrm{Re}(z) \right\};$z_0\in \left\{z\mid z\in C\wedge \text{Im}\left(z\right)=-4+\text{Re}\left(z\right)\right\};$

c)

Wie lassen sich die Abbildungen geometrisch beschreiben?

\mathrm{f}_1${\text{f}}_1$

Spiegelung an der reellen Achse

\mathrm{f}_2${\text{f}}_2$

Spiegelung an der reellen Achse und Translation um 4$4$ auf der reellen Achse

\mathrm{f}_3${\text{f}}_3$

Spiegelung an der reellen Achse und Translation um 4$4$ auf der imaginären Achse (auch: Achsenspiegelung an einer Parallelen der reellen Achse mit Imaginärteil 2$2$)

\mathrm{f}_4${\text{f}}_4$

Spiegelung an der reellen Achse mit anschließender Punktspiegelung am Ursprung und Translation um 4$4$ auf der reellen Achse

\mathrm{f}_5${\text{f}}_5$

Spiegelung an der reellen Achse mit anschließender Drehung um \frac{\pi}{2}$\frac{\pi }{2}$ und Translation um 4$4$ auf der reellen und -4$-4$ auf der imaginären Achse

d)

Zeichne die Menge der Punkte z = x + 3\mathrm{i}$z=x+3\text{i}$ mit x \in \mathds{R}$x\in R$ und bestimme jeweils die zugehörige Bildmenge.

Zusammenhang zwischen Original und Bild?

\mathrm{f}_1${\text{f}}_1$

\mathrm{f}_1(z) = x - 3\mathrm{i};${\text{f}}_1\left(z\right)=x-3\text{i};$ (Spiegelung an der reellen Achse)

\mathrm{f}_2${\text{f}}_2$

\mathrm{f}_2(z) = x - 3\mathrm{i} + 4;${\text{f}}_2\left(z\right)=x-3\text{i}+4;$ (Spiegelung an der reellen Achse)

\mathrm{f}_3${\text{f}}_3$

\mathrm{f}_3(z) = x + \mathrm{i};${\text{f}}_3\left(z\right)=x+\text{i};$ (Verschiebung um 2$2$ entgegen der imaginären Achse oder Achsenspiegelung an einer um 2$2$ in imaginärer Richtung verschobenen Parallelen zur reellen Achse)

\mathrm{f}_4${\text{f}}_4$

\mathrm{f}_4(z) = -x + 3\mathrm{i} + 4;${\text{f}}_4\left(z\right)=-x+3\text{i}+4;$ (Identitätsabbildung)

\mathrm{f}_5${\text{f}}_5$

\mathrm{f}_5(z) = ix + 4 - \mathrm{i};${\text{f}}_5\left(z\right)=ix+4-\text{i};$ (Drehung um 90^\circ$90^{\circ }$ um 0$0$ und Verschiebung um 4$4$ auf der reellen Achse oder Drehung um 4$4$)