«11C» 27. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 27. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 49, Aufgabe 5b

Bestimme folgende Punktmenge und zeichne sie!

\left\{ z \left| \dfrac{\left|z - 1\right|}{\left|z + 1\right|} = 3 \right. \right\}$\left\{z\left|\frac{\left|z-1\right|}{\left|z+1\right|}=3\right.\right\}$

\dfrac{\left(z - 1\right)\left(z^* - 1\right)}{\left(z + 1\right)\left(z^* + 1\right)} = 9;$\frac{\left(z-1\right)\left(z^{\ast }-1\right)}{\left(z+1\right)\left(z^{\ast }+1\right)}=9;$

⇒ zz^* - z - z + 1 = 9zz^* + 9z + 9z^* + 9;$z{z}^{\ast }-z-z+1=9z{z}^{\ast }+9z+9z^{\ast }+9;$

⇒ 0 = zz^* + \frac{5}{4}z + \frac{5}{4}z^* + 1;$0=z{z}^{\ast }+\frac{5}{4}z+\frac{5}{4}{z}^{\ast }+1;$

⇒ zz^* + \frac{5}{4}z + \frac{5}{4}z^* = -1 = r^2 - mm^*;$z{z}^{\ast }+\frac{5}{4}z+\frac{5}{4}{z}^{\ast }=-1=r^2-m{m}^{\ast };$

⇒ zz^* + \frac{5}{4}z + \frac{5}{4}z^* + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16} = \frac{9}{16};$z{z}^{\ast }+\frac{5}{4}z+\frac{5}{4}{z}^{\ast }+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}=\frac{9}{16};$

⇒ \left|z + \frac{5}{4}\right| = \frac{3}{4};$\left|z+\frac{5}{4}\right|=\frac{3}{4};$