«11C» 42. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 42. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 110, Aufgabe 1

a)

Berechnen Sie die Masse des Jupiters mit den Daten seines Mondes Io: Der mittlere Bahndurchmesser ist 2r = 8,\!43 \cdot 10^5\mathrm{km}$2r=8,43\cdot 10^5\text{km}$, und die Umlaufzeit beträgt T_{\mathrm{Io}} = 42,\!5\mathrm{h}$T_{\text{Io}}=42,5\text{h}$.

m_{\mathrm{Io}}\dfrac{v_{\mathrm{Io}}^2}{r} = m_{\mathrm{Io}}\dfrac{4\pi^2r}{T_{\mathrm{Io}}^2} = G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Io}} \cdot m_{\mathrm{Jupiter}}}{r^2}; \Rightarrow\\ m_{\mathrm{Jupiter}} = \dfrac{4\pi^2}{G} \dfrac{r^3}{T_{\mathrm{Io}}^2} = 1,\!89 \cdot 10^{27} \mathrm{kg};$m_{\text{Io}}\frac{v_{\text{Io}}^2}{r}=m_{\text{Io}}\frac{4{\pi }^{2}r}{T_{\text{Io}}^2}=G\cdot \frac{m_{\text{Io}}\cdot m_{\text{Jupiter}}}{r^2};\Rightarrow m_{\text{Jupiter}}=\frac{4{\pi }^2}{G}\frac{r^3}{T_{\text{Io}}^2}=1,89\cdot 10^{27}\text{kg};$

b)

Wie groß ist die mittlere Dichte des Jupiters? Welche Schlüsse lassen sich aus dem Ergebnis über die Beschaffenheit des Planeten ziehen?

R_{\mathrm{Jupiter}} = 11,\!2 \cdot R_{\mathrm{Erde}};$R_{\text{Jupiter}}=11,2\cdot R_{\text{Erde}};$

\varrho = \dfrac{m_{\mathrm{Jupiter}}}{\frac{4}{3} \pi R_{\mathrm{Jupiter}}^3} = 1,\!24 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3};$\varrho =\frac{m_{\text{Jupiter}}}{\frac{4}{3}\pi R_{\text{Jupiter}}^3}=1,24\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3};$