«11C» 46. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 46. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Selbstgestellte Aufgabe

Berechne die Energie, die ein Synchronsattelit der Erde beim Abschuss mitbekommen muss, wenn er m = 1000\mathrm{kg}$m=1000\text{kg}$ Masse hat.

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}; \Rightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}};$T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}};\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}};$

⇒ v = \sqrt{\dfrac{GM\sqrt[3]{\dfrac{G^2M^2T^4}{16\pi^4}}}{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}}} = \sqrt[6]{\dfrac{4\pi^2}{T^2} G^2M^2};$v=\sqrt{\frac{GM\sqrt[3]{\frac{G^2{M}^2{T}^4}{16{\pi }^4}}}{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}=\sqrt[6]{\frac{4{\pi }^2}{T^2}{G}^2{M}^2};$

⇒ W = m\left[GM\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{\sqrt[3]{4\pi^2}}{\sqrt[3]{GMT^2}}\right) + \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{4\pi^2}{T^2} G^2M^2}\right];$W=m\left[GM\left(\frac{1}{R}-\frac{\sqrt[3]{4{\pi }^2}}{\sqrt[3]{GM{T}^2}}\right)+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{4{\pi }^2}{T^2}{G}^2{M}^2}\right];$

⇒ W = 5,\!78 \cdot 10^1 \mathrm{GJ};$W=5,78\cdot 10^1\text{GJ};$