«11C» Formelsammlung zur 2. Schulaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Formelsammlung zur 2. Schulaufgabe

0.0.1.1 ↑ Kreisbewegung

• Bogenlänge: s = \varphi \cdot r;$s=\varphi \cdot r;$

• Konstante Winkelgeschwindigkeit: \omega = \dfrac{\varphi}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f;$\omega =\frac{\varphi }{t}=\frac{2\pi }{T}=2\pi f;$

• Frequenz: f = \dfrac{1}{T};$f=\frac{1}{T};$

• Bahngeschwindigkeit: v = \omega r;$v=\omega r;$

• Zentripetalkraft: F_{\mathds{r}} = m\dfrac{v^2}{r} = m \omega^2 r;$F_r=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r;$

0.0.1.2 ↑ Kreisbewegung: Kurvenüberhöhung

• F$F$: Kraft der Straße auf das Auto (Gegenkraft der Normalkraft)

• Bei idealer Kuvenüberhöhung liefert \vec F + \vec G$\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G}$ eine Kraft zum Mittelpunkt der Kreisbahn: \\ \vec F_r = \vec F + \vec G;${\overrightarrow{F}}_r=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G};$

• Bei idealer Kurvenüberhöhung gilt:

  \tan\alpha = \dfrac{F_r}{G} = \dfrac{m\frac{v^2}{r}}{mg} = \dfrac{v^2}{rg};$tan\alpha =\frac{F_r}{G}=\frac{m\frac{v^2}{r}}{mg}=\frac{v^2}{rg};$ (unabhängig von m$m$)

  Optimale Geschwindigkeit für die Kurve: v = \sqrt{rg \cdot \tan\alpha};$v=\sqrt{rg\cdot tan\alpha };$

0.0.1.3 ↑ Kreisbewegung: Radler in der Kurve

• \tan\alpha = \dfrac{F_r}{F_g} = \dfrac{v^2}{rg};$tan\alpha =\frac{F_r}{F_g}=\frac{v^2}{rg};$

• Wegen F_H = \mu \cdot F_s$F_H=\mu \cdot F_s$ folgt für die Haftreibungszahl: \\\mu \cdot F_G \geq F_r; \Rightarrow \mu \geq \dfrac{F_r}{F_G} = \tan\alpha;$\mu \cdot F_G\ge F_r;\Rightarrow \mu \ge \frac{F_r}{F_G}=tan\alpha ;$

  Also sichere Kurvenfahrt, solange \mu > \tan\alpha;$\mu >tan\alpha ;$

0.0.1.4 ↑ Kepler-Gesetze und Gravitation

• Drittes Kepler-Gesetz: \dfrac{T_1^2}{a_1^3} = \dfrac{T_2^2}{a_2^3} = C_\odot;$\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}=C_{\odot };$

• Gravitationsgesetz (M$M$: Masse des Zentralgestirns, m$m$: Masse des umlaufenden Dings): F_{\mathrm{grav}} = G \dfrac{m M}{r^2};$F_{\text{grav}}=G\frac{mM}{r^2};$

• G = \frac{4\pi^2}{C_\odot M_\odot};$G=\frac{4{\pi }^2}{C_{\odot }{M}_{\odot }};$

• Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Entfernung: v = \sqrt{G \dfrac{M}{r}};$v=\sqrt{G\frac{M}{r}};$

• Umlaufdauer in Abhängigkeit der Entfernung: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}};$T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}};$

• Gravitationsfeldstärke: g = \frac{G M}{r^2};$g=\frac{GM}{r^2};$

• Hubarbeit im Gravitationsfeld: W_{\mathrm{H}} = G mM \left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{A}}} - \dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}\right);$W_{\text{H}}=GmM\left(\frac{1}{r_{\text{A}}}-\frac{1}{r_{\text{E}}}\right);$

  Hubarbeit "ins Unendliche": W_\infty = G mM \dfrac{1}{r_{\mathrm{A}}};$W_{\infty }=GmM\frac{1}{r_{\text{A}}};$

• Erste kosmische Geschwindigkeit: v_1 = \sqrt{G \cdot \dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{R_{\mathrm{Erde}}}};$v_1=\sqrt{G\cdot \frac{M_{\text{Erde}}}{R_{\text{Erde}}}};$

  Zweite kosmische Geschwindigkeit: W_\infty = \frac{1}{2}mv_2^2;$W_{\infty }=\frac{1}{2}m{v}_2^2;$

0.0.1.5 ↑ Mechanische Schwingungen

• Weg: y(t) = A \cdot \sin \omega{}t;$y\left(t\right)=A\cdot sin\omega t;$

• Geschwindigkeit: v(t) = \dot{y}(t) = A\omega \cdot \cos \omega{}t;$v\left(t\right)=ẏ\left(t\right)=A\omega \cdot cos\omega t;$

• Beschleunigung: a(t) = \dot{v}(t) = \ddot{y}(t) = -A\omega^2 \cdot \sin \omega{}t;$a\left(t\right)=\dot{v}\left(t\right)=ÿ\left(t\right)=-A{\omega }^2\cdot sin\omega t;$

• Rückstellkraft: F(t) = m a(t) = -m\omega^2 \cdot y(t);$F\left(t\right)=ma\left(t\right)=-m{\omega }^2\cdot y\left(t\right);$

• HOOKsches Gesetz: F = -Dy;$F=-Dy;$

• Federhärte: D = m \omega^2;$D=m{\omega }^2;$

• Schwingungsdauer: T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};$

• Harmonische Schwingungen erkennt man an einem linearen Kraftgesetz, die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung.