«K12/K13» 124. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 124. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 271, Aufgabe 15

Die Punkte P(13,-6,6)$P\left(13,-6,6\right)$ und P'$P^{\prime }$ seien symmetrisch bezüglich der Ebene E{:}\, 7x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 7 = 0$E:7x_1-4x_2+4x_3-7=0$. Berechne P'$P^{\prime }$.

HNF von E$E$: HT_E(X) = \frac{1}{9}\left(7x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 7\right) = 0;$H{T}_E\left(X\right)=\frac{1}{9}\left(7x_1-4x_2+4x_3-7\right)=0;$

d(P,E) = \left|HT_E(P)\right| = \left|\frac{44}{3}\right|;$d\left(P,E\right)=\left|H{T}_E\left(P\right)\right|=\left|\frac{44}{3}\right|;$

\vec P' = \vec P - 2 \vec n^0 \cdot d(P,E) = {}\frac{1}{27} \left(\!\begin{smallmatrix}-265\\190\\-190\end{smallmatrix}\!\right)\!;${\overrightarrow{P}}^{\prime }=\overrightarrow{P}-2{\overrightarrow{n}}^0\cdot d\left(P,E\right)=\frac{1}{27}\left(\begin{array}{c}-265\\ 190\\ -190\end{array}\right);$

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 284, Aufgabe 1

K$K$ sei Kugel um M(3,6,2)$M\left(3,6,2\right)$ mit Radius 7$7$.

Welche der folgenden Punkte liegen in, auf oder außerhalb der Kugel?

A(5,9,6); \quad d(A,K) = 7;$A\left(5,9,6\right);d\left(A,K\right)=7;$ \\$$ → A$A$ liegt auf der Kugel

B(-1,0,0); \quad d(B,K) = 2 \sqrt{14};$B\left(-1,0,0\right);d\left(B,K\right)=2\sqrt{14};$ \\$$ → B$B$ liegt außerhalb der Kugel

C(0,0,0); \quad d(C,K) = 7;$C\left(0,0,0\right);d\left(C,K\right)=7;$ \\$$ → C$C$ liegt auf der Kugel

D(1,1,1); \quad d(D,K) = \sqrt{30};$D\left(1,1,1\right);d\left(D,K\right)=\sqrt{30};$ \\$$ → D$D$ liegt innerhalb der Kugel

E(3,6,2); \quad d(E,K) = 0;$E\left(3,6,2\right);d\left(E,K\right)=0;$ \\$$ → E$E$ liegt innerhalb der Kugel

F(3,6,-5); \quad d(F,K) = 7;$F\left(3,6,-5\right);d\left(F,K\right)=7;$ \\$$ → F$F$ liegt auf der Kugel

G(0,0,4); \quad d(G,K) = 7;$G\left(0,0,4\right);d\left(G,K\right)=7;$ \\$$ → G$G$ liegt auf der Kugel

0.0.1.3 ↑ Geometrie-Buch Seite 284, Aufgabe 2

Stelle die Gleichung der Kugel um den Ursprung auf, die

a)

den Radius \sqrt{17}$\sqrt{17}$ hat.

\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{17};$\left|\overrightarrow{X}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\sqrt{17};$

b)

durch P(3,4,-12)$P\left(3,4,-12\right)$ geht.

d(O,P) = 13;$d\left(O,P\right)=13;$

\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = 13;$\left|\overrightarrow{X}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=13;$

c)

die Ebene E{:}\, 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 49$E:3x_1+2x_2+6x_3=49$ berührt.

d(O,E) = \left|HT_E(O)\right| = 7;$d\left(O,E\right)=\left|H{T}_E\left(O\right)\right|=7;$

\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = 7;$\left|\overrightarrow{X}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=7;$

d)

die Gerade durch P(11,0,11)$P\left(11,0,11\right)$ und Q(20,-6,13)$Q\left(20,-6,13\right)$ berührt.

g{:}\, \vec X = \vec P + \lambda \overrightarrow{PQ} = \left(\!\begin{smallmatrix}11\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}9\\-6\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{P}+\lambda \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}11\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right);$

\overrightarrow{O X(\lambda)} \cdot \overrightarrow{PQ} = {}\vec X(\lambda) \cdot \left(\!\begin{smallmatrix}9\\-6\\2\end{smallmatrix}\!\right) = {}101 + 121 \lambda \stackrel{!}{=} 0;$\overrightarrow{OX\left(\lambda \right)}\cdot \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{X}\left(\lambda \right)\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)=101+121\lambda \stackrel{!}{=}0;$ ⇔ \lambda = -\frac{101}{121};$\lambda =-\frac{101}{121};$

\vec F = \vec X(\lambda) = \frac{1}{121} \left(\!\begin{smallmatrix}422\\606\\-81\end{smallmatrix}\!\right)\!;$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{X}\left(\lambda \right)=\frac{1}{121}\left(\begin{array}{c}422\\ 606\\ -81\end{array}\right);$

d(O,F) = \frac{1}{11} \sqrt{4561};$d\left(O,F\right)=\frac{1}{11}\sqrt{4561};$

\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \frac{1}{11} \sqrt{4561};$\left|\overrightarrow{X}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{1}{11}\sqrt{4561};$