«K12/K13» 16. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 16. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 68

\mathrm{f}_a(x) = \frac{1}{4}\left(ax - 5\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_a} = \mathds{R}; \quad a \in \mathds{R};${\text{f}}_a\left(x\right)=\frac{1}{4}{\left(ax-5\right)}^2;D_{{\text{f}}_a}=\mathbb{ℝ};a\in \mathbb{ℝ};$

Jede Scharkurve schließt mit den Randgeraden des Streifens 0 \leq x \leq 5$0\le x\le 5$ und der x$x$-Achse eine Fläche ein. Bestimme a$a$ so, dass der Inhalt am kleinsten ist (mit Nachweis des Minimums).

\forall x \in D_{\mathrm{f}_a}\colon \mathrm{f}_a(x) \geq 0;$\forall x\in D_{{\text{f}}_a}:{\text{f}}_a\left(x\right)\ge 0;$

⇒ \mathrm{A}(a) = \int\limits_0^5 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\left[\frac{a^2}{3}x^3 - 5ax^2 + 25x\right]_0^5 = \frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{3} 125 - 125a + 125\right);$\text{A}\left(a\right)=\underset{0}{\overset{5}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{f}\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{4}{\left[\frac{a^2}{3}{x}^3-5a{x}^2+25x\right]}_0^5=\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{3}125-125a+125\right);$

⇒ \mathrm{A}'(a) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \mathrm{A}(a) = \frac{1}{4}\left(\frac{250}{3}a - 125\right);${\text{A}}^{\prime }\left(a\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}a}\text{A}\left(a\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{250}{3}a-125\right);$

⇒ \mathrm{A}'(a_0) = 0; \Rightarrow a_0 = \frac{3}{2}; \quad${\text{A}}^{\prime }\left(a_0\right)=0;\Rightarrow a_0=\frac{3}{2};$ (VZW von \mathrm{A}'${\text{A}}^{\prime }$ bei \frac{3}{2}$\frac{3}{2}$ von -$-$ nach +$+$)

0.0.1.2 ↑ Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 70

\mathrm{f}_a(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + a; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R}; \quad a \in \mathds{R};${\text{f}}_a\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-4x+a;D_{\text{f}}=\mathbb{ℝ};a\in \mathbb{ℝ};$

Bestimme a$a$ so, dass G_{\mathrm{f}_a}$G_{{\text{f}}_a}$ durch (3, -\frac{7}{3})$\left(3,-\frac{7}{3}\right)$ geht. Berechne für dieses a$a$ den Inhalt des Flächenstücks im 1. und 4. Quadranten, das die Gerade \mathrm{g}(x) = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$\text{g}\left(x\right)=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$ und G_{\mathrm{f}_a}$G_{{\text{f}}_a}$ umschließen.

\mathrm{f}_{a_0}(3) = -\frac{7}{3}; \Rightarrow a_0 = \frac{2}{3};${\text{f}}_{a_0}\left(3\right)=-\frac{7}{3};\Rightarrow a_0=\frac{2}{3};$

\mathrm{f}_{a_0}(x) = \mathrm{g}(x); \Rightarrow x_1 = -4; \quad x_2 = 0; \quad x_3 = 4;${\text{f}}_{a_0}\left(x\right)=\text{g}\left(x\right);\Rightarrow x_1=-4;x_2=0;x_3=4;$

\int\limits_0^4 \mathrm{g}(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_0^4 \mathrm{f}_{a_0}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{64}{3};$\underset{0}{\overset{4}{\int \; <!--nolimits-->}}\text{g}\left(x\right)\text{d}x-\underset{0}{\overset{4}{\int \; <!--nolimits-->}}{\text{f}}_{a_0}\left(x\right)\text{d}x=\frac{64}{3};$