«K12/K13» 75. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 75. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Geometrie-Buch Seite 113, Aufgabe 13a

\vec a$\overrightarrow{a}$ und \vec b$\overrightarrow{b}$ seien linear unabhängig.

Untersuche \vec u$\overrightarrow{u}$ und \vec v$\overrightarrow{v}$ auf lineare Abhängigkeit:

\vec u = \vec a + \vec b; \quad \vec v = \vec a - \vec b;$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};$

\lambda \vec u + \mu \vec v = \lambda \vec a + \lambda \vec b + \mu \vec a - \mu \vec b = \vec a \left(\lambda + \mu\right) + \vec b \left(\lambda - \mu\right) = 0;$\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{a}-\mu \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\left(\lambda +\mu \right)+\overrightarrow{b}\left(\lambda -\mu \right)=0;$

\lambda + \mu = \lambda - \mu = 0;$\lambda +\mu =\lambda -\mu =0;$ ⇔ (\lambda, \mu) = (0, 0);$\left(\lambda ,\mu \right)=\left(0,0\right);$

Also: \vec u$\overrightarrow{u}$ und \vec v$\overrightarrow{v}$ sind linear unabhängig.

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 113, Aufgabe 14

\vec a$\overrightarrow{a}$, \vec b$\overrightarrow{b}$ und \vec c$\overrightarrow{c}$ seien linear unabhängig.

Untersuche \vec u$\overrightarrow{u}$, \vec v$\overrightarrow{v}$ und \vec w$\overrightarrow{w}$ auf linear Abhängigkeit:

a)

\vec u = \vec a + \vec b; \quad \vec v = \vec b + \vec c; \quad \vec w = \vec a + \vec c;$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c};\overrightarrow{w}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c};$

\lambda \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w = \lambda \vec a + \lambda \vec b + \mu \vec b + \mu \vec c + \nu \vec a + \nu \vec c = \vec a \left(\lambda + \nu\right) + \vec b \left(\lambda + \mu\right) + \vec c \left(\mu + \nu\right) = 0;$\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}+\nu \overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{c}+\nu \overrightarrow{a}+\nu \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\lambda +\nu \right)+\overrightarrow{b}\left(\lambda +\mu \right)+\overrightarrow{c}\left(\mu +\nu \right)=0;$

\lambda + \nu = \lambda + \mu = \mu + \nu = 0;$\lambda +\nu =\lambda +\mu =\mu +\nu =0;$ ⇔ (\lambda, \mu, \nu) = (0, 0, 0);$\left(\lambda ,\mu ,\nu \right)=\left(0,0,0\right);$

Also: \vec u$\overrightarrow{u}$, \vec v$\overrightarrow{v}$ und \vec w$\overrightarrow{w}$ sind linear unabhängig.

b)

\vec u = \vec c - \vec a; \quad \vec v = \vec b - \vec c; \quad \vec w = \vec b - \vec a;$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c};\overrightarrow{w}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a};$

\lambda \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w = \lambda \vec c - \lambda \vec a + \mu \vec b - \mu \vec c + \nu \vec b - \nu \vec a = \vec a \left(-\lambda - \nu\right) + \vec b \left(\mu + \nu\right) + \vec c \left(\lambda - \mu\right) = 0;$\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}+\nu \overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{c}-\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}-\mu \overrightarrow{c}+\nu \overrightarrow{b}-\nu \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\left(-\lambda -\nu \right)+\overrightarrow{b}\left(\mu +\nu \right)+\overrightarrow{c}\left(\lambda -\mu \right)=0;$

-\lambda - \nu = \mu + \nu = \lambda - \mu = 0;$-\lambda -\nu =\mu +\nu =\lambda -\mu =0;$ ⇔ (\lambda, \mu, \nu) = (-k, -k, k);$\left(\lambda ,\mu ,\nu \right)=\left(-k,-k,k\right);$

Also: \vec u$\overrightarrow{u}$, \vec v$\overrightarrow{v}$ und \vec w$\overrightarrow{w}$ sind linear abhängig (es gibt nicht nur die triviale Nullsumme).

c)

\vec u = \vec a + \vec b + \vec c; \quad \vec v = \vec a + \vec b; \quad \vec w = \vec a - \vec c;$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{w}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c};$

L \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w = \lambda \vec a + \lambda \vec b + \lambda \vec c + \mu \vec a + \mu \vec b + \nu \vec a - \nu \vec c = \vec a \left(\lambda + \mu + \nu\right) + \vec b \left(\lambda + \mu\right) + \vec c \left(\lambda - \nu\right) = 0;$L\overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}+\nu \overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+\lambda \overrightarrow{c}+\mu \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}+\nu \overrightarrow{a}-\nu \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\lambda +\mu +\nu \right)+\overrightarrow{b}\left(\lambda +\mu \right)+\overrightarrow{c}\left(\lambda -\nu \right)=0;$

\lambda + \mu + \nu = \lambda + \mu = \lambda - \nu;$\lambda +\mu +\nu =\lambda +\mu =\lambda -\nu ;$ ⇔ (\lambda,\mu,\nu) = (0,0,0);$\left(\lambda ,\mu ,\nu \right)=\left(0,0,0\right);$

Also: \vec u$\overrightarrow{u}$, \vec v$\overrightarrow{v}$ und \vec w$\overrightarrow{w}$ sind linear unabhängig.