0.0.1 ↑ 81. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Analysis-Buch Seite 113, Aufgabe 38
\mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_t} = \mathds{R}; \quad t > 0;
\mathrm{f}_t'(x) = 2 \left(e^x - t\right) \cdot e^x;
- d)
G_{\mathrm{f}_t}, die zugehörige Asymptote und die Gerade x = -u (u > 0) umschließen ein Flächenstück.
Berechne dessen Inhalt. Was ergibt sich für u \to +\infty?
A_t(u) = \int\limits_{-u}^{\ln 2t} \left(t^2 - \mathrm{f}_t(x)\right) \mathrm{d}x = \left[t^2 x - \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^x t - t^2 x\right]_{-u}^{\ln 2t} = t^2 \cdot \ln 2 t - \frac{1}{2} \left(2 t\right)^2 + 2 \cdot 2t \cdot t - t^2 \cdot \ln 2 t + t^2 u + \frac{1}{2} e^{-2 u} + 2 e^{-u} t + t^2 u;
\lim\limits_{u \to \infty} A_t(u) = \infty;
- e)
Zeige, dass sich je zwei Graphen der Schar in genau einem Punkt P schneiden. Wann liegt P auf der y-Achse?
\mathrm{f}_{t_1}(x) = \mathrm{f}_{t_2}(x);
e^x - t_1 = \pm\left(e^x - t_2\right) = \pm e^x \mp t_2;
e^x \left(1 \mp 1\right) = t_1 \mp t_2;
x = \ln \frac{t_1 + t_2}{2}; (definiert für alle t_1, t_2) → P\!\left(\ln \frac{t_1 + t_2}{2}, \left(\frac{t_1 + t_2}{2} - t_1\right)^2\right)\!;
x = \ln \frac{t_1 + t_2}{2} = 0; ⇔ \frac{t_1 + t_2}{2} = 1; ⇔ t_1 + t_2 = 2;
