«K12/K13» 99. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 99. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Stochastik-Buch Seite 208, Aufgabe 66

1. Ein Gerätehersteller führt vor jeder größeren Lieferung folgenden Text durch: Es werden nacheinander Geräte "mit Zu­rück­le­gen" geprüft, bis das zweite einwandfreie bzw. das zweite mangelhafte Gerät aufgetreten ist. Im ersten Fall wird die Lieferung freigegeben, im zweiten Fall zurückbehalten.

   a)

   Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum \Omega$\Omega$ an.

   \Omega = \left\{ 11, 101, 100, 00, 010, 011 \right\}\!;$\Omega =\left\{11,101,100,00,010,011\right\};$

   b)

   Schreiben Sie das Ereignis L$L$: "es wird geliefert" als Teilmenge von \Omega$\Omega$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P_p(L)$P_p\left(L\right)$ in Abhängigkeit vom Anteil p$p$ mangelhafter Geräte in der Lieferung.

   L = \left\{ 11, 101, 011 \right\} \subset \Omega;$L=\left\{11,101,011\right\}\subset \Omega ;$

   P_p(L) = \left(1 - p\right)^2 + \left(1 - p\right)^2 p + p \left(1 - p\right)^2 = 2 p^3 - 3 p^2 + 1 = \left(2 p + 1\right) \left(1 - p\right)^2;$P_p\left(L\right)={\left(1-p\right)}^2+{\left(1-p\right)}^{2}p+p{\left(1-p\right)}^2=2p^3-3p^2+1=\left(2p+1\right){\left(1-p\right)}^2;$

   c)

   Weisen Sie mit Methoden der Differentialrechnung nach, dass P_p(L)$P_p\left(L\right)$ mit wachsendem p$p$ monoton abnimmt.

   \frac{\mathrm{d} P_p(L)}{\mathrm{d} p} = 6 p^2 - 6 p < 0$\frac{\text{d}{P}_p\left(L\right)}{\text{d}p}=6p^2-6p<0$ für p \in \left]0, 1\right[;$p\in \left]0,1\right[;$

   d)

   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens, dass Lieferungen mit einem Anteil p \geq 0{,}2$p\ge 0,2$ von mangelhaften Geräten bei diesem Testverfahren freigegeben werden?

   P_{\geq 0{,}2}(L) \leq 2 \cdot \left(0{,}2\right)^3 - 3 \cdot \left(0{,}2\right)^2 + 1 = 90 \,\%;$P_{\ge 0,2}\left(L\right)\le 2\cdot {\left(0,2\right)}^3-3\cdot {\left(0,2\right)}^2+1=90\%;$

   e)

   Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Sendung zu­rück­be­hal­ten, wenn p = 0{,}1$p=0,1$ gilt?

   1 - P_{0{,}1}(L) \approx 1 - 97 \,\% = 3 \,\%;$1-P_{0,1}\left(L\right)\approx 1-97\%=3\%;$

2. Die Zufallsgröße X$X$ gibt die Anzahl der nach dem in Teilaufgabe 1 beschriebenen Verfahren zu prüfenden Geräte an.

   a)

   Bestätigen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung

   P(X = 2) = 1 - 2p + 2p^2; \quad P(X = 3) = 2 p \left(1 - p\right);$P\left(X=2\right)=1-2p+2p^2;P\left(X=3\right)=2p\left(1-p\right);$

   P(X = 2) = \left(1 - p\right)^2 + p^2 = 2p^2 - 2p + 1;$P\left(X=2\right)={\left(1-p\right)}^2+p^2=2p^2-2p+1;$

   P(X = 3) = \left(1 - p\right)^2 p + \left(1 - p\right) p^2 + p^2 \left(1 - p\right) + p \left(1 - p\right)^2 = 2 p - 2 p^2 = 2 p \left(1 - p\right);$P\left(X=3\right)={\left(1-p\right)}^{2}p+\left(1-p\right)p^2+p^2\left(1-p\right)+p{\left(1-p\right)}^2=2p-2p^2=2p\left(1-p\right);$

   b)

   Zeigen Sie, dass die Verteilung aus Teilaufgabe 2a den Forderungen von Kolmogorow: "nichtnegativ" und "normiert" genügt.

   p \in \left[0,1\right];$p\in \left[0,1\right];$

   P(X = 2) + P(X = 3) = \left(2p^2 - 2p + 1\right) + \left(2 p - 2 p^2\right) = 1;$P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=\left(2p^2-2p+1\right)+\left(2p-2p^2\right)=1;$

   P(X = 3) = 2 p \left(1 - p\right) \geq 0$P\left(X=3\right)=2p\left(1-p\right)\ge 0$, sofern p$p$ wie implizit in der Angabe bestimmt \in \left[0,1\right];$\in \left[0,1\right];$

   P(X = 2) = 2p^2 - 2p + 1 = \left(1 - p\right)^2 + p^2 \geq 0$P\left(X=2\right)=2p^2-2p+1={\left(1-p\right)}^2+p^2\ge 0$, da eine Summe von Quadraten im Reellen immer \geq 0;$\ge 0;$

   c)

   Weisen Sie nach: E_p(X) = 2 \left(1 + p - p^2\right);$E_p\left(X\right)=2\left(1+p-p^2\right);$

   E_p(X) = 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) = -2p^2 + 2p + 2;$E_p\left(X\right)=2\cdot P\left(X=2\right)+3\cdot P\left(X=3\right)=-2p^2+2p+2;$

   d)

   Für welchen Wert von p$p$ müssen im Durchschnitt die meisten Geräte geprüft werden? Wie viele sind dies?

   \frac{\mathrm{d} E_p(X)}{\mathrm{d} p} = -4p + 2 \stackrel{!}{=} 0;$\frac{\text{d}{E}_p\left(X\right)}{\text{d}p}=-4p+2\stackrel{!}{=}0;$

   ⇔ p = \frac{1}{2};$p=\frac{1}{2};$

   E_{\frac{1}{2}}(X) = -2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\right) + 2 = 2{,}5;$E_{\frac{1}{2}}\left(X\right)=-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(\frac{1}{2}\right)+2=2,5;$

(Aus Abiturprüfung 1984.)

0.0.1.2 ↑ Geometrie-Buch Seite 208, Aufgabe 6

Berechne den Umfang des Dreiecks ABC$ABC$:

b)

A(1, -6, -6); \quad B(2,2,-2); \quad C(0,-2,2);$A\left(1,-6,-6\right);B\left(2,2,-2\right);C\left(0,-2,2\right);$

\left|\overrightarrow{AB}\right| + {}\left|\overrightarrow{BC}\right| + {}\left|\overrightarrow{CA}\right| = {}9 + 6 + 9 = 24;$\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{CA}\right|=9+6+9=24;$

c)

A(9,9,0); \quad B(-6,3,9); \quad C(0,-6,-6); \quad$A\left(9,9,0\right);B\left(-6,3,9\right);C\left(0,-6,-6\right);$ Umkreisradius?

\left|\overrightarrow{AB}\right| + {}\left|\overrightarrow{BC}\right| + {}\left|\overrightarrow{CA}\right| \approx 55{,}5;$\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{CA}\right|\approx 55,5;$

\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2 \sin\arccos \frac{\vec A \vec B}{\left|\vec A\right| \left|\vec B\right|}} = r;$\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2sinarccos\frac{\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|}}=r;$

r = \sqrt{114};$r=\sqrt{114};$