«K12/K13» 4. Klausur «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 4. Klausur am 21.6.2006

1. Untersuche, ob V = \left\{ \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) \,\middle|\, a, b \in \mathds{R} \right\}$V=\left\{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\mid a,b\in \mathbb{ℝ}\right\}$ mit \left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right) + \left(\!\begin{smallmatrix}a_2\\b_2\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{smallmatrix}\!\right)$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+a_2\\ b_1+b_2\end{array}\right)$ und k \cdot \left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}k \cdot a_1\\b_1\end{smallmatrix}\!\right)$k\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\cdot a_1\\ b_1\end{array}\right)$, k \in \mathds{R}$k\in \mathbb{ℝ}$ ein Vektorraum über \mathds{R}$\mathbb{ℝ}$ ist. (6 P)

   \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}\lambda a\\b\end{smallmatrix}\!\right) + \left(\!\begin{smallmatrix}\mu a\\b\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}\lambda a + \mu a\\2b\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\!\begin{smallmatrix}\left(\lambda + \mu\right) a\\2b\end{smallmatrix}\!\right) \neq \left(\!\begin{smallmatrix}\left(\lambda + \mu\right) a\\b\end{smallmatrix}\!\right) = \left(\lambda + \mu\right) \left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right)$\lambda \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda a\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mu a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda a+\mu a\\ 2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left(\lambda +\mu \right)a\\ 2b\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}\left(\lambda +\mu \right)a\\ b\end{array}\right)=\left(\lambda +\mu \right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ für b \neq 0;$b\ne 0;$

   → V$V$ ist kein Vektorraum über \mathds{R}$\mathbb{ℝ}$.

2. Untersuche, ob aus der linearen Unabhängigkeit von \vec a$\overrightarrow{a}$, \vec b$\overrightarrow{b}$ und \vec c$\overrightarrow{c}$ die lineare Unabhängigkeit von \vec v$\overrightarrow{v}$, \vec w$\overrightarrow{w}$ und \vec z$\overrightarrow{z}$ folgt, wenn gilt:

   \vec v = \vec a + 2 \vec b + 3 \vec c$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$ und \\$$ \vec w = 2 \vec a - \vec b + 2 \vec c$\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$ und \\$$ \vec z = \vec b - \vec c$\overrightarrow{z}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$. (10 P)

   k \vec v + l \vec w + m \vec z = k \left(\vec a + 2 \vec b + 3 \vec c\right) + l \left(2 \vec a - \vec b + 2 \vec c\right) + m \left(\vec b - \vec c\right) = \vec a \left(k + 2l\right) + \vec b \left(2k - l + m\right) + \vec c \left(3k + 2l - m\right) = \vec 0;$k\overrightarrow{v}+l\overrightarrow{w}+m\overrightarrow{z}=k\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\right)+l\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)+m\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\left(k+2l\right)+\overrightarrow{b}\left(2k-l+m\right)+\overrightarrow{c}\left(3k+2l-m\right)=\overrightarrow{0};$

   \vec a$\overrightarrow{a}$, \vec b$\overrightarrow{b}$, \vec c$\overrightarrow{c}$ linear unabhängig, also:

   k + 2l = 0; \quad 2k - l + m = 0; \quad 3k + 2l - m = 0;$k+2l=0;2k-l+m=0;3k+2l-m=0;$

   ⇒ k = l = m = 0$k=l=m=0$, d.h. \vec v$\overrightarrow{v}$, \vec w$\overrightarrow{w}$, \vec z$\overrightarrow{z}$ linear unabhängig.

3. Gegeben ist für a \in \mathds{R}_0^+$a\in {\mathbb{ℝ}}_0^{+}$ die Funktionenschar \mathrm{f}_a${\text{f}}_a$ mit \mathrm{f}_a(x) = 4 \cdot e^{-x} \left(a - e^{-x}\right)${\text{f}}_a\left(x\right)=4\cdot e^{-x}\left(a-e^{-x}\right)$, x \in \mathds{R}$x\in \mathbb{ℝ}$. (20 P)

   a)

   Untersuche die Graphen der Scharfunktionen auf Achsenschnittpunkte, relative Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte. Bestimme gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte. (8 P)

   • Für a = 0$a=0$: \mathrm{f}_0(x) = -4 e^{-2x};${\text{f}}_0\left(x\right)=-4e^{-2x};$

     Schnittpunkt mit y$y$-Achse: (0, -4)$\left(0,-4\right)$

     Kein Schnittpunkt mit x$x$-Achse

     Keine Extrem- und Wendestellen

   • Für a > 0$a>0$:

     \mathrm{f}_a'(x) = 4 e^{-x} \left(2 e^{-x} - a\right)\!;${\text{f}}_a^{\prime }\left(x\right)=4e^{-x}\left(2e^{-x}-a\right);$

     \mathrm{f}_a''(x) = 4 e^{-x} \left(a - 4 e^{-x}\right)\!;${\text{f}}_a^{\prime \prime }\left(x\right)=4e^{-x}\left(a-4e^{-x}\right);$

     \mathrm{f}_a'(x) = 0${\text{f}}_a^{\prime }\left(x\right)=0$ für x = -ln \frac{a}{2} = \ln \frac{2}{a};$x=-ln\frac{a}{2}=ln\frac{2}{a};$

     \mathrm{f}_a''\!\left(-\ln \frac{a}{2}\right) = -2 a^2 > 0;${\text{f}}_a^{\prime \prime }\left(-ln\frac{a}{2}\right)=-2a^2>0;$

     Hochpunkt: \left(-\ln \frac{a}{2}, a^2\right)$\left(-ln\frac{a}{2},a^2\right)$

     Vorzeichenwechsel von \mathrm{f}_a''(x)${\text{f}}_a^{\prime \prime }\left(x\right)$ bei -ln \frac{a}{4}$-ln\frac{a}{4}$, da 4 e^{-x}$4e^{-x}$ stets größer 0$0$ und \left(a - 4 e^{-x}\right)$\left(a-4e^{-x}\right)$ echt monoton wachsend.

   b)

   Bestimme das Verhalten von \mathrm{f}_a(x)${\text{f}}_a\left(x\right)$ für x \to +\infty$x\to +\infty$ und x \to -\infty$x\to -\infty$. (2 P)

   \lim\limits_{x \to \infty} 4 e^{-x} \left(a - e^{-x}\right) = 4 \cdot 0 \cdot \left(a - 0\right) = 0;$\underset{x\to \infty }{lim}4e^{-x}\left(a-e^{-x}\right)=4\cdot 0\cdot \left(a-0\right)=0;$

   \lim\limits_{x \to -\infty} \underbrace{4 e^{-x}}_{\to +\infty} \underbrace{\left(a - e^{-x}\right)}_{\to -\infty} = \lim\limits_{x \to -\infty} 4 e^{-2x} \left(\frac{a}{e^{-x}} - 1\right) = -\infty;$\underset{x\to -\infty }{lim}\underset{\to +\infty }{\underbrace{4e^{-x}}}\underset{\to -\infty }{\underbrace{\left(a-e^{-x}\right)}}=\underset{x\to -\infty }{lim}4e^{-2x}\left(\frac{a}{e^{-x}}-1\right)=-\infty ;$

   c)

   Zeige, dass \mathrm{F}_a${\text{F}}_a$ mit \mathrm{F}_a(x) = 2 \left(a - e^{-x}\right)^2${\text{F}}_a\left(x\right)=2{\left(a-e^{-x}\right)}^2$, x \in \mathds{R}$x\in \mathbb{ℝ}$ eine Stammfunktion von \mathrm{f}_a${\text{f}}_a$ ist. (2 P)

   d)

   Zeige, dass für \alpha \in \mathds{R}^+$\alpha \in {\mathbb{ℝ}}^{+}$ die Funktion \tilde{\mathrm{F}}_\alpha${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }$ mit \tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 2 \left(\alpha - e^{-x}\right)^2${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }\left(x\right)=2{\left(\alpha -e^{-x}\right)}^2$, x \in \left]-\ln \alpha, \infty\right[$x\in \left]-ln\alpha ,\infty \right[$ eine Umkehrfunktion hat, und gib Definitionsmenge und Funktionsterm der Umkehrfunktion an. (8 P)

   \tilde{\mathrm{F}}_\alpha'(x) = \mathrm{f}_\alpha(x)${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }^{\prime }\left(x\right)={\text{f}}_{\alpha }\left(x\right)$ für x \in \left]-\ln a, \infty\right[;$x\in \left]-lna,\infty \right[;$

   \tilde{\mathrm{F}}_\alpha'(x)${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }^{\prime }\left(x\right)$ hat auf \left]-\ln a, \infty\right[$\left]-lna,\infty \right[$ keine Nullstellen, d.h. \tilde{\mathrm{F}}_\alpha${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }$ ist echt monoton auf \left]-\ln a, \infty\right[$\left]-lna,\infty \right[$.

   Also ist \tilde{\mathrm{F}}_\alpha${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }$ injektiv.

   \tilde{\mathrm{F}}_\alpha${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }$ ist surjektiv, falls als Zielbereich W_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha}$W_{{\tilde{\text{F}}}_{\alpha }}$ verwendet wird. (2 P)

   D_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha^{-1}} = W_{\tilde{\mathrm{F}}_\alpha} = \left[0, 2 \alpha^2\right[;$D_{{\tilde{\text{F}}}_{\alpha }^{-1}}=W_{{\tilde{\text{F}}}_{\alpha }}=\left[0,2{\alpha }^2\right[;$ (da \tilde{\mathrm{F}}_\alpha${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }$ stetig und echt monoton)

   \lim\limits_{x \to -\ln \alpha} \tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 0; \quad \lim\limits_{x \to \infty} \tilde{\mathrm{F}}_\alpha(x) = 2 \alpha^2;$\underset{x\to -ln\alpha }{lim}{\tilde{\text{F}}}_{\alpha }\left(x\right)=0;\underset{x\to \infty }{lim}{\tilde{\text{F}}}_{\alpha }\left(x\right)=2{\alpha }^2;$ (3 P)

   y = 2 \left(\alpha - e^{-x}\right)^2 > 0; \quad x > -\ln \alpha;$y=2{\left(\alpha -e^{-x}\right)}^2>0;x>-ln\alpha ;$

   \sqrt{y} = \sqrt{2 \left(\alpha - e^{-x}\right)^2} = \sqrt{2} \left|\alpha - e^{-x}\right| = \sqrt{2} \left(\alpha - e^{-x}\right)\!;$\sqrt{y}=\sqrt{2{\left(\alpha -e^{-x}\right)}^2}=\sqrt{2}\left|\alpha -e^{-x}\right|=\sqrt{2}\left(\alpha -e^{-x}\right);$

   ...

   \tilde{\mathrm{F}}_\alpha^{-1}(x) = -\ln \left(\alpha - \sqrt{\frac{x}{2}}\right)\!;${\tilde{\text{F}}}_{\alpha }^{-1}\left(x\right)=-ln\left(\alpha -\sqrt{\frac{x}{2}}\right);$

"Ich will gar nicht immer Recht haben... Unter dem Schicksal leide ich schon seit langem..."