0.0.1 ↑ Formelsammlung zur 5. Klausur
0.0.1.1 ↑ Analytische Geometrie
0.0.1.1.1 ↑ Umrechnungen zwischen Parameter- und Koordinaten/Normalenform
Umrechnung der Parameterform einer Ebene mit Aufpunkt A und Richtungsvektoren \vec u und \vec v in die Normalenform:
\vec n = \vec u \times \vec v; \quad n_0 = - \vec n \vec A;
\vec n \cdot \overrightarrow{AX} = n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0 = 0;
\operatorname{det}\!\left(\overrightarrow{AX}, \vec u, \vec v\right) \stackrel{!}{=} 0, da \left\{ \overrightarrow{AX}, \vec u, \vec v \right\} komplanar ist/sein muss.
Umrechnung der Koordinatenform einer Ebene in die Parameterform:
Definition: x_2 := \lambda; \quad x_3 := \mu;
Koordinatenform nach x_1 auflösen → Term für x_1
x_1, x_2 = \lambda und x_3 = \mu in \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) einsetzen und nach 1, \lambda und \mu gruppieren.
0.0.1.1.2 ↑ Winkel
Winkel \angle(\vec u,\vec v) \in \left[0^\circ, 180^\circ\right] zwischen zwei Vektoren:
\cos \angle(\vec u,\vec v) = \frac{\vec u \vec v}{\left|\vec u\right| \left|\vec v\right|};
Winkel \angle(g,h) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right] zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren \vec g und \vec h:
\cos \angle(g,h) = \left|\frac{\vec g \vec h}{\left|\vec g\right| \left|\vec h\right|}\right|;
Winkel \angle(g,E) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right] zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor \vec g und einer Ebene mit Normalenvektor \vec n:
\cos\left[90^\circ - \angle(g,E)\right] = \sin \angle(g,E) = \left|\frac{\vec g \vec n}{\left|\vec g\right| \left|\vec n\right|}\right|;
Winkel \angle(E,F) \in \left[0^\circ, 90^\circ\right] zwischen zwei Ebenen mit Normalenvektoren \vec e und \vec f:
\cos \angle(E,F) = \left|\frac{\vec e \vec f}{\left|\vec e\right| \left|\vec f \right|}\right|;
0.0.1.1.3 ↑ Abstände, Normalen
Abstand d(P,Q) von zwei Punkten:
d(P,Q) = \left|\overrightarrow{PQ}\right| = \sqrt{{\overrightarrow{PQ}}^2};
Abstand d(P,g) von einem Punkt zu einer Geraden mit Richtungsvektor \vec g und Laufparameter \lambda:
Allgemeinen Abstand d(P,X_g(\lambda)) berechnen (in Abhängigkeit von \lambda), diesen dann ableiten, auf Null setzen und dann nach \lambda auflösen
Kurz: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{P X_g(\lambda)}\right|^2 \stackrel{!}{=} 0;
d(P,g) = d(P,F) = \left|\overrightarrow{PF}\right|, wobei \underbrace{\overrightarrow{P F}}_{\overrightarrow{P X(\lambda)}} \cdot \vec g = 0;
Hilfsebene H (Normalenvektor \vec h) durch P senkrecht zu g legen:
\vec h := \vec g; \quad h_0 = - \vec h \vec P;
Dann \vec X_g in die Normalenform von H einsetzen, auflösen (eine Gleichung; Unbekannte ist \lambda)
Dann weiter wie oben.
Abstand d(P,E) von einer Ebene mit Normalenvektor \vec n zu einem Punkt:
d(P,E) = d(P,F) mit E \cap n = \left\{ F \right\} und n{:}\, \vec X = \vec P + \lambda \vec n;
Abstand d(g,E) von einer Ebene zu einer parallelen Geraden:
d(g,E) = d(P,E), mit P als beliebigen festen Punkt von g
Abstand d(E,F) von zwei parallenen Ebenen:
d(E,F) = d(P,F), mit P als beliebigen festen Punkt von E
0.0.1.1.4 ↑ Projektion
(Senkrechte) Projektion eines Vektors \vec a auf einen Vektor \vec n:
\vec n_{\vec a} = {\vec n}^0 \cdot \left|\vec a\right| \cos\varphi;
(Senkrechte) Projektion eines Punkts auf eine Gerade:
Die Projektion ist der Lotfußpunkt des Lots durch den Punkt auf die Gerade.
(Senkrechte) Projektion eines Punkts P auf eine Ebene (Normalenvektor \vec e):
Die Projektion ist der Lotfußpunkt des Lots durch den Punkt auf die Ebene.
Besonders schneller Weg zur Normalengleichung:
n{:}\, \vec X = \vec P + \lambda \vec e;
(Senkrechte) Projektion einer Geraden auf eine Ebene:
Zwei beliebige feste Punkte der Geraden auf die Ebene projezieren und die Projektionspunkte dann verbinden. (Zweckmäßigerweise ist einer der Punkte der Schnittpunkt von Gerade und Ebene)
0.0.1.2 ↑ Stochastik
0.0.1.2.5 ↑ Definitionen
0.0.1.2.5.1 ↑ Definitionen zur Zufallsgröße
Zufallsgröße: X{:}\, \Omega \to \mathds{R};
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P_X{:}\, W_X \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X = x);
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\tilde{P}_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right];
x-Werte, die an denen P_X nicht definiert ist, werden auf 0 gesetzt.
Kumulative Verteilungsfunktion:
F_X{:}\, \mathds{R} \to \left[0,1\right]; \quad x \mapsto P(X \leq x);
Dichtefunktion
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung: P_{X,Y}{:}\, W_X \times W_Y \to \left[0,1\right];
Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen X und Y ⇔
P(X = x) P(Y = y) = P(X = x \cap Y = y) für alle x \in W_X und für alle y \in W_Y;
0.0.1.2.5.2 ↑ Definitionen zu Charakteristika von Zufallsgrößen
Erwartungswert E(X) = \mu \in \mathds{R} einer Zufallsgröße:
E(X) = \sum\limits_{x \in W_X} x P(X = x) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right);
Varianz \operatorname{Var}(X) = \sigma^2(X) = \sigma^2 \in \mathds{R} einer Zufallsgröße:
\operatorname{Var}(X) = E\left[\left(X - E(X)\right)^2\right] = \sum\limits_{x \in W_X} \left(x - E(x)\right)^2 P(X = x) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} \left(X(\omega) - E(x)\right)^2 P\!\left(\left\{ \omega \right\}\right);
Standardabweichung einer Zufallsgröße: \sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} \in \mathds{R}_0^+;
0.0.1.2.6 ↑ Rechenregeln
0.0.1.2.6.3 ↑ Rechenregeln zum Erwartungswert
E(X + Y) = E(X) + E(Y);
E(aX + b) = a E(X) + b;
E(X Y) = E(X) E(Y), sofern X und Y unabhängig sind.
0.0.1.2.6.4 ↑ Rechenregeln zur Varianz
(Spezielle) Verschiebungsregel: \operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E^2(X);
\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y), sofern X und Y unabhängig sind.
\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X);
0.0.1.2.6.5 ↑ Rechenregeln zu gemittelten Zufallsgrößen
E(\overline{X}) = E(X);
\operatorname{Var}(\overline{X}) = \operatorname{Var}(X) / n;